Cho đường tròn \[\left( O \right)\] có dây \[AB\] khác đường kính. Qua \[O\] kẻ đường vuông góc với \[AB\], cắt tiếp tuyến tại \[A\] của \[\left( O \right)\] ở \[C\]. Biết rằng bán kính của \[\left( O \right)\] bằng 15 cm và dây \[AB = 24\,\,{\rm{cm}}{\rm{.}}\] Tính độ dài đoạn thẳng \[OC\]. (Đơn vị: cm)

a) Đúng.

Vì \[\Delta KAC\] vuông tại \[K\] nên \[K,\,A,\,C\] thuộc đường tròn đường kính \[AC.\]

Vì \[\Delta MAC\] vuông tại \[M\] nên \[M,\,A,\,C\] thuộc đường tròn đường kính \[AC.\]

Suy ra \[A,\,M,\,C,\,K\] cùng thuộc đường tròn đường kính \[AC\].

b) Đúng.

Vì dây \[MN\] vuông góc với \[AB\] tại \[H\] nên \[\Delta MNB\] cân tại \[B\].

Do đó, \[BH\] vừa là đường cao, đường phân giác của \[\widehat {MBN}\]

Hay \[BK\] là tia phân giác của \[\widehat {MBN}\].

c) Sai.

\[\Delta BCD\] có \[BK \bot CD;\,\,CN \bot BN\], do đó \[H\] là trực tâm của \[\Delta BCD\].

Do đó, ba điểm \[D,\,A,\,M\] thẳng hàng.

Ta có \[\Delta DMC\] vuông tại \[M\], có \[MK\] là trung tuyến nên \[\Delta KMC\] cân tại \[K\].

d) Đúng.

Vì \[\Delta KMC\] cân tại \[K\] nên \[\widehat {KCM} = \widehat {KMC}\].

Lại có: \[\widehat {KBC} = \widehat {OMB}\] nên \[\widehat {KMC} + \widehat {OMB} = \widehat {KCB} + \widehat {KBC} = 90^\circ \] suy ra \[\widehat {KMO} = 90^\circ \].

Mà \[OM\] là bán kính nên \[KM\] là tiếp tuyến của đường tròn \[\left( O \right)\].

a) Sai.

Xét \[\Delta OAC\] và \[\Delta ABO\] có:

\[OC = OB = R\]

\[OA\] chung

\[AB = AC\] (gt)

Do đó, \[\Delta OAC = \Delta OAB\] (c.c.c)

b) Đúng.

Vì \[\Delta OAC = \Delta OAB\] (cmt) nên \[\widehat {OCA} = \widehat {OBA} = 90^\circ \] (hai góc tương ứng)

Do đó, \[AC\] là tiếp tuyến của đường tròn \[\left( O \right)\].

c) Đúng.

Có \[OD \bot OE\] nên tam giác \[OCD\] cân tại \[O\], do đó \[M\] là trung điểm của \[EC\].

\[OD\] là đường trung trực của đoạn thẳng \[EC\] suy ra \[DE = DC\].

Suy ra \[\Delta OED = \Delta OCD\] (c.c.c)

d) Đúng.

Vì \[\Delta OED = \Delta OCD\] (c.c.c) nên \[\widehat {OED} = \widehat {OCD} = 90^\circ \] (hai góc tương ứng).

Do đó, \[DE\] là tiếp tuyến của đường tròn \[\left( O \right)\].