Nếu hai đường tròn phân biệt tiếp xúc nhau thì số điểm chung của hai đường tròn là         

a) Đúng.

Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có: \[IB = IA = IC\] và \[\widehat {{I_1}} = \widehat {{I_2}};\,\widehat {{I_3}} = \widehat {{I_4}}\].

Vì \[IB = IA = IC\] nên theo tính chất đường trung tuyến suy ra \[\Delta ABC\] vuông tại \[A\] hay \[\widehat {BAC} = 90^\circ \].

b) Đúng.

Ta có: \[\widehat {{I_1}} + \widehat {{I_2}} + \widehat {{I_3}} + \widehat {{I_4}} = 180^\circ \]

            \[2\widehat {{I_2}} + 2\widehat {{I_3}} = 180^\circ \]

            \[2\left( {\widehat {{I_2}} + \widehat {{I_3}}} \right) = 180^\circ \]

             \[\widehat {{I_2}} + \widehat {{I_3}} = 90^\circ \]

             \[\widehat {OIO'} = 90^\circ \].

c) Sai.

Xét \[\Delta AOI\] và \[\Delta AO'I\] có:

\[\widehat {OAI} = \widehat {O'AI} = 90^\circ \]

\[\widehat {{I_2}} = \widehat {AO'I}\] (cùng phụ với \[\widehat {{I_3}}\])

Do đó, $\Delta AOI\backsim \Delta O^{\text{'}}AI$ (g.g)

d) Đúng.

Vì (cmt) nên \[A{I^2} = OA \cdot O'A = 9 \cdot 4 = 36\], suy ra \[IA = 6\,\,\left( {{\rm{cm}}} \right)\].

Do đó, \[BC = 2IA = 12\,\,\left( {{\rm{cm}}} \right)\].

Đáp án: 6

Theo đề, có \[\widehat {{A_2}} = 30^\circ \], do đó \[\widehat {{C_1}} = 30^\circ \] (\[\Delta O'AC\] cân tại \[O'\])

Suy ra \[\widehat {AO'C} = 180^\circ - 2\widehat {{A_2}} = 120^\circ \]

Do đó, \[\widehat {CO'D} = 180^\circ - \widehat {AO'C} = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ \].

Xét \[\Delta CO'D\] vuông có \[\tan \widehat {CO'D} = \frac{{CD}}{{O'C}}\], do đó \[CD = O'C \cdot \tan \widehat {CO'D} = 3\sqrt 3 \,\,\left( {{\rm{cm}}} \right)\].

Có \[\cos \widehat {CO'D} = \frac{{O'C}}{{O'D}}\], do đó \[O'D = \frac{{O'C}}{{\cos CO'D}} = \frac{3}{{\frac{1}{2}}} = 6\,\,\left( {{\rm{cm}}} \right)\].

Vậy \[O'D = 6\,\,{\rm{cm}}{\rm{.}}\]