Cho hai đường tròn \(\left( O \right)\) và \(\left( {O'} \right)\) cắt nhau tại \(A\) và \(B\). Một đường thẳng \(d\) đi qua \(A\) cắt \(\left( O \right)\) tại \(E\) và cắt \(\left( {O'} \right)\) tại \(F\,\,\left( {E,\,F \ne A} \right)\). Biết điểm \(A\) nằm trong đoạn \(EF\). Gọi \(I,\,K\) lần lượt là trung điểm của \(AE\) và \(AF\).

Khi đó:

a) Đúng.

Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có: \[IB = IA = IC\] và \[\widehat {{I_1}} = \widehat {{I_2}};\,\widehat {{I_3}} = \widehat {{I_4}}\].

Vì \[IB = IA = IC\] nên theo tính chất đường trung tuyến suy ra \[\Delta ABC\] vuông tại \[A\] hay \[\widehat {BAC} = 90^\circ \].

b) Đúng.

Ta có: \[\widehat {{I_1}} + \widehat {{I_2}} + \widehat {{I_3}} + \widehat {{I_4}} = 180^\circ \]

            \[2\widehat {{I_2}} + 2\widehat {{I_3}} = 180^\circ \]

            \[2\left( {\widehat {{I_2}} + \widehat {{I_3}}} \right) = 180^\circ \]

             \[\widehat {{I_2}} + \widehat {{I_3}} = 90^\circ \]

             \[\widehat {OIO'} = 90^\circ \].

c) Sai.

Xét \[\Delta AOI\] và \[\Delta AO'I\] có:

\[\widehat {OAI} = \widehat {O'AI} = 90^\circ \]

\[\widehat {{I_2}} = \widehat {AO'I}\] (cùng phụ với \[\widehat {{I_3}}\])

Do đó, $\Delta AOI\backsim \Delta O^{\text{'}}AI$ (g.g)

d) Đúng.

Vì (cmt) nên \[A{I^2} = OA \cdot O'A = 9 \cdot 4 = 36\], suy ra \[IA = 6\,\,\left( {{\rm{cm}}} \right)\].

Do đó, \[BC = 2IA = 12\,\,\left( {{\rm{cm}}} \right)\].

Đáp án: 6

Theo đề, có \[\widehat {{A_2}} = 30^\circ \], do đó \[\widehat {{C_1}} = 30^\circ \] (\[\Delta O'AC\] cân tại \[O'\])

Suy ra \[\widehat {AO'C} = 180^\circ - 2\widehat {{A_2}} = 120^\circ \]

Do đó, \[\widehat {CO'D} = 180^\circ - \widehat {AO'C} = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ \].

Xét \[\Delta CO'D\] vuông có \[\tan \widehat {CO'D} = \frac{{CD}}{{O'C}}\], do đó \[CD = O'C \cdot \tan \widehat {CO'D} = 3\sqrt 3 \,\,\left( {{\rm{cm}}} \right)\].

Có \[\cos \widehat {CO'D} = \frac{{O'C}}{{O'D}}\], do đó \[O'D = \frac{{O'C}}{{\cos CO'D}} = \frac{3}{{\frac{1}{2}}} = 6\,\,\left( {{\rm{cm}}} \right)\].

Vậy \[O'D = 6\,\,{\rm{cm}}{\rm{.}}\]