Biết đồ thị hàm số \(y = a{x^2} + bx + c\), \(\left( {a,\,b,\,c\, \in \mathbb{R};\,a \ne 0} \right)\) đi qua điểm \(A\left( {2;1} \right)\) và có đỉnh \(I\left( {1\,;\, - 1} \right)\). Tính giá trị biểu thức \(T = {a^3} + {b^2} - 2c\).

Gọi hai cạnh của hình chữ nhật có độ dài là \(x,\,y\,\)(như hình vẽ); \(0 < x,\,y < 60\).

Ta có \(2x + y = 60 \Rightarrow y = 60 - 2x\).

Diện tích hình chữ nhật là \(S = xy = x\left( {60 - 2x} \right) = \frac{1}{2}.2x\left( {60 - 2x} \right) \le \frac{1}{2}\left( {\frac{{2x + 60 - 2x}}{x}} \right) = 450\).

Vậy diện tích hình chữ nhật lớn nhất là \(450\,\left( {{m^2}} \right)\), đạt được khi \(x = 15,\,y = 30\).

Gắn hệ trục tọa độ \(Oxy\) như hình vẽ, chiếc cổng là 1 phần của parabol \(\left( P \right)\): \(y = a{x^2} + bx + c\) với \(a < 0\).

Do parabol \(\left( P \right)\) đối xứng qua trục tung nên có trục đối xứng \(x = 0 \Rightarrow  - \frac{b}{{2a}} = 0 \Leftrightarrow b = 0\).

Chiều cao của cổng parabol là 4m nên \(G\left( {0;4} \right)\) \( \Rightarrow c = 4\).

\( \Rightarrow \left( P \right)\): \(y = a{x^2} + 4\)

Lại có, kích thước cửa ở giữa là 3m × 4m nên \(E\left( {2;3} \right),\;F\left( { - 2;3} \right)\)\( \Rightarrow 3 = 4a = 4 \Leftrightarrow a =  - \frac{1}{4}\).

Vậy \(\left( P \right)\): \(y =  - \frac{1}{4}{x^2} + 4\).

Ta có \( - \frac{1}{4}{x^2} + 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 4\\x =  - 4\end{array} \right.\) nên \(A\left( { - 4;0} \right)\), \(B\left( {4;0} \right)\) hay \(AB = 8\)(m).