Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật \(AB = a,AD = a\sqrt 3 \). Cạnh bên \(SA\) vuông góc với đáy và \(SA = 2a\). Những phương án nào dưới đây đúng?
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
1. Đúng. Ta có \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\) nên suy ra \(SA\) là đường cao của hình chóp.
2. Sai. Kẻ \(AH \bot SD\left( {H \in SD} \right)\).
Ta có \(SA \bot \left( {ABCD} \right),CD \subset \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot CD\).
Mà \(AD \bot CD\) nên \(CD \bot \left( {SAD} \right) \Rightarrow CD \bot AH\).
Lại có \(SD \bot AH \Rightarrow AH \bot \left( {SCD} \right) \Rightarrow AH = d\left( {A,\left( {SCD} \right)} \right)\).
Ta có \(AH = \frac{{SA \cdot AD}}{{\sqrt {S{A^2} + A{D^2}} }} = \frac{{2a \cdot a\sqrt 3 }}{{\sqrt {4{a^2} + 3{a^2}} }} = \frac{{2a\sqrt {21} }}{7}\).
3. Sai. Vì \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\) nên \({V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3} \cdot SA \cdot {S_{ABCD}} = \frac{1}{3} \cdot 2a \cdot {a^2}\sqrt 3 = \frac{{2{a^3}\sqrt 3 }}{3}\).
4. Đúng. Có \(\cos \left( {SB,AC} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow {SB} \cdot \overrightarrow {AC} } \right|}}{{SB \cdot AC}}\).
Ta có \(\overrightarrow {SB} \cdot \overrightarrow {AC} = \left( {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AS} } \right) \cdot \overrightarrow {AB} = A{B^2} - \overrightarrow {AS} \cdot \overrightarrow {AB} = A{B^2} = {a^2}\).
Suy ra \(\cos \left( {SB,AC} \right) = \frac{{\left| {{a^2}} \right|}}{{a\sqrt 5 \cdot 2a}} = \frac{1}{{2\sqrt 5 }}\). Khi đó \(\left( {SB,AC} \right) \approx 77,4^\circ \).
5. Đúng.
Gọi K là hình chiếu của \(A\)lên \(BD\), \(J\)là hình chiếu của \(A\)lên \(SK\).
Có tam giác \(ABD\) vuông tại \(A\), \(AK \bot BD\). Khi đó:
\(\frac{1}{{A{K^2}}} = \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{D^2}}} = \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {a\sqrt 3 } \right)}^2}}} \Rightarrow AK = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).
Xét tam giác \(SAK\) vuông tại \(A\) có \(AJ \bot SK\). Khi đó:
\(\frac{1}{{A{J^2}}} = \frac{1}{{A{K^2}}} + \frac{1}{{S{A^2}}} = \frac{1}{{{{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {2a} \right)}^2}}} \Rightarrow AJ = \frac{{2a\sqrt {57} }}{{19}}\).
Gọi \(O = AC \cap \left( {SBD} \right) \Rightarrow \frac{{AO}}{{CO}} = \frac{{d\left( {A,\left( {SBD} \right)} \right)}}{{d\left( {C,\left( {SBD} \right)} \right)}}\).
Mà \(ABCD\) là hình chữ nhật nên \(O\) là trung điểm \(AC\).
Suy ra \(\frac{{AO}}{{CO}} = 1 \Rightarrow d\left( {A,\left( {SBD} \right)} \right) = d\left( {C,\left( {SBD} \right)} \right) = \frac{{2a\sqrt {57} }}{{19}}\). Chọn ý 1, 4, 5.
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Lợi nhuận thu được là
\(L\left( x \right) = {x^3} - 1999{x^2} + 1001000x + 250000 - x\left( {300 + \frac{{100}}{x}} \right) \cdot 1000 - \left( {2{x^3} + 100000x - 50000} \right)\)
\( = - {x^3} - 1999{x^2} + 601000x + 200000\).
Có \(L'\left( x \right) = - 3{x^2} - 3998x + 601000 = 0 \Leftrightarrow x \approx 136,37\).
Bảng biến thiên
Vì số sản phẩm sản xuất được là số tự nhiên, từ bảng biến thiên ta so sánh \(L\left( {136} \right)\) và \(L\left( {137} \right)\).
Ta có \(L\left( {136} \right) = 42\;447\;040\) đồng và \(L\left( {137} \right) = 42\;446\;416\) đồng.
Vậy doanh nghiệp cần sản xuất 136 sản phẩm thì lợi nhuận là lớn nhất.
Đáp án cần nhập là: 136.
Lời giải
Mặt cầu \[\left( S \right)\] có tâm\[I\left( {1;0;--1} \right)\], bán kính \(R = 2\).
Ta có \({V_{ABCD}} = \frac{1}{3}d\left( {D,\left( {ABC} \right)} \right).{S_{ABC}}\) nên \({V_{ABCD}}\)lớn nhất khi và chỉ khi \(d\left( {D,\left( {ABC} \right)} \right)\) lớn nhất.
Gọi \(\Delta \) là đường thẳng qua điểm \(I\) và vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\). Suy ra \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = - 2t\\z = - 1 + t\end{array} \right.\).
Gọi \({D_1};{D_2}\) là các giao điểm của \(\Delta \) và mặt cầu \(\left( S \right)\).
Tọa độ điểm \({D_1};{D_2}\) thỏa mãn hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 + 2t\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{y = - 2t\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{z = - 1 + t\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 2z - 2 = 0}\end{array}} \right. \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = \frac{2}{3}}\\{t = \frac{{ - 2}}{3}}\end{array}} \right.\)\( \Rightarrow {D_1}\left( {\frac{7}{3};\frac{{ - 4}}{3};\frac{{ - 1}}{3}} \right)\,;{D_2}\left( {\frac{{ - 1}}{3};\frac{4}{3};\frac{{ - 5}}{3}} \right)\)
Ta thấy: \(d\left( {{D_1},\left( {ABC} \right)} \right) > d\left( {{D_2},\left( {ABC} \right)} \right)\). Vậy điểm \(D\left( {\frac{7}{3}; - \frac{4}{3}; - \frac{1}{3}} \right)\) \( \Rightarrow a + b + c = \frac{2}{3} \approx 0,67\).
Đáp án cần nhập là: 0,67.
Câu 3
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 4
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 6
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 7
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập