Chị Lan có một mảnh đất rộng 6 ha. Chị dự định trồng lúa và khoai tây cho mùa vụ sắp tới. Nếu trồng lúa thì chị Lan cần 10 ngày để gieo trồng trên mỗi ha. Nếu trồng khoai tây thì chị Lan cần 20 ngày để gieo trồng trên mỗi ha. Biết rằng sau thu hoạch, mỗi ha lúa bán được 30 triệu đồng, còn mỗi ha khoai tây bán được 50 triệu đồng. Chị Lan chỉ còn 100 ngày để canh tác cho kịp thời vụ. Hỏi số tiền nhiều nhất mà chị Lan có thể thu được sau mùa vụ này là bao nhiêu triệu đồng?

Đáp án: ____

Lợi nhuận thu được là

\(L\left( x \right) = {x^3} - 1999{x^2} + 1001000x + 250000 - x\left( {300 + \frac{{100}}{x}} \right) \cdot 1000 - \left( {2{x^3} + 100000x - 50000} \right)\)

\( =  - {x^3} - 1999{x^2} + 601000x + 200000\).

Có \(L'\left( x \right) =  - 3{x^2} - 3998x + 601000 = 0 \Leftrightarrow x \approx 136,37\).

Bảng biến thiên

Vì số sản phẩm sản xuất được là số tự nhiên, từ bảng biến thiên ta so sánh \(L\left( {136} \right)\) và \(L\left( {137} \right)\).

Ta có \(L\left( {136} \right) = 42\;447\;040\) đồng và \(L\left( {137} \right) = 42\;446\;416\) đồng.

Vậy doanh nghiệp cần sản xuất 136 sản phẩm thì lợi nhuận là lớn nhất.

Đáp án cần nhập là: 136.

Mặt cầu \[\left( S \right)\] có tâm\[I\left( {1;0;--1} \right)\], bán kính \(R = 2\).

Ta có \({V_{ABCD}} = \frac{1}{3}d\left( {D,\left( {ABC} \right)} \right).{S_{ABC}}\) nên \({V_{ABCD}}\)lớn nhất khi và chỉ khi \(d\left( {D,\left( {ABC} \right)} \right)\) lớn nhất.

Gọi \(\Delta \) là đường thẳng qua điểm \(I\) và vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\). Suy ra \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y =  - 2t\\z =  - 1 + t\end{array} \right.\).

Gọi \({D_1};{D_2}\) là các giao điểm của \(\Delta \) và mặt cầu \(\left( S \right)\).

Tọa độ điểm \({D_1};{D_2}\) thỏa mãn hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 + 2t\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{y =  - 2t\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{z =  - 1 + t\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 2z - 2 = 0}\end{array}} \right. \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = \frac{2}{3}}\\{t = \frac{{ - 2}}{3}}\end{array}} \right.\)\( \Rightarrow {D_1}\left( {\frac{7}{3};\frac{{ - 4}}{3};\frac{{ - 1}}{3}} \right)\,;{D_2}\left( {\frac{{ - 1}}{3};\frac{4}{3};\frac{{ - 5}}{3}} \right)\)

Ta thấy: \(d\left( {{D_1},\left( {ABC} \right)} \right) > d\left( {{D_2},\left( {ABC} \right)} \right)\). Vậy điểm \(D\left( {\frac{7}{3}; - \frac{4}{3}; - \frac{1}{3}} \right)\) \( \Rightarrow a + b + c = \frac{2}{3} \approx 0,67\).

Đáp án cần nhập là: 0,67.