(1,5 điểm) Cho hai biểu thức: \[A = \frac{{4\sqrt x }}{{\sqrt x - 1}}\] và \[B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 1}} + \frac{1}{{\sqrt x + 1}} - \frac{2}{{1 - x}}\] với \[x \ge 0;x \ne 1\].

1) Tính giá trị của biểu thức \[A\] khi \[x = 16\].

2) Chứng minh \[B = \frac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x  - 1}}\].

3) Cho \[P = \frac{A}{B}\]. Tìm các giá trị của \[x\] để \[P\left( {\sqrt x  + 1} \right) \ge x + 4\].

1) Thay \(x = 16\) (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức \(A\) ta được:\[A = \frac{{4\sqrt {16} }}{{\sqrt {16}  - 1}} = \frac{{4.4}}{{4 - 1}} = \frac{{16}}{3}\]

Vậy \(A = \frac{{16}}{3}\) khi \(x = 16\).

b) Với \[x \ge 0;x \ne 1\], ta có:

\[B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 1}} + \frac{1}{{\sqrt x  + 1}} - \frac{2}{{1 - x}}\]\[ = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 1}} + \frac{1}{{\sqrt x  + 1}} + \frac{2}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}\]

\[ = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x  + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}} + \frac{{\sqrt x  - 1}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}} + \frac{2}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}\]

\[ = \frac{{x + \sqrt x  + \sqrt x  - 1 + 2}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}\]\[ = \frac{{x + 2\sqrt x  + 1}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}\]

\[ = \frac{{{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)}^2}}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}\]\[ = \frac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x  - 1}}\] (đpcm).

c) \[P = \frac{A}{B}\]\[ = \frac{{4\sqrt x }}{{\sqrt x  - 1}}:\frac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x  - 1}}\]\[ = \frac{{4\sqrt x }}{{\sqrt x  - 1}}.\frac{{\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x  + 1}}\]\[ = \frac{{4\sqrt x }}{{\sqrt x  + 1}}\]

\[\frac{{4\sqrt x }}{{\sqrt x  + 1}}\left( {\sqrt x  + 1} \right) \ge x + 4\]

\[4\sqrt x  \ge x + 4\]

\[x - 4\sqrt x  + 4 \le 0\]

\[{\left( {\sqrt x  - 2} \right)^2} \le 0\]

Suy ra \[{\left( {\sqrt x  - 2} \right)^2} = 0\] vì \[{\left( {\sqrt x  - 2} \right)^2} \ge 0\] với mọi \[x\].

Suy ra \[x = 2\] (TM)

Vậy \[x = 2\] thì \[P\left( {\sqrt x  + 1} \right) \ge x + 4\].