(4,0 điểm)

Một khu vườn có dạng hình tam giác \[ABC\] vuông tại \[A\] với \[AB = 5m\],\[BC = 10m\] (như hình vẽ). Tại góc vườn \[B\], người ta xây một bể cá (tô màu) có dạng hình quạt tròn tâm \[B,\] bán kính 3 m.

a) Tính số đo \(\widehat B\) của khu vườn.

b) Người ta muốn gắn một dây đèn LED xung quanh đường viền của bể cá để trang trí. Biết giá tiền để mua 1 mét dây đèn LED là 300 000 đồng. Hỏi số tiền mua dây đèn là bao nhiêu nghìn đồng? (lấy \[\pi  \approx 3,14\]).

Tứ giác \(BFEC\)nội tiếp nên \(\widehat {BFE} + \widehat {BCE} = 180^\circ \) (tính chất của tứ giác nội tiếp)

Mà \(\widehat {BFE} + \widehat {BFM} = 180^\circ \) (hai góc kề bù) nên \(\widehat {BCE} = \widehat {BFM}\)

* Chứng minh: \[ME.MF = MC.MB\]

Xét \[\Delta \]\(MFB\) và \[\Delta \]\(MCE\) có \(\widehat {BCE} = \widehat {BFM}\left( {cmt} \right),\widehat M\,\,\left( {chung} \right)\)

Do đó $\Delta MFB\backsim \Delta MCE$ (g.g).

\[ \Rightarrow \frac{{MF}}{{MC}} = \frac{{MB}}{{ME}} \Rightarrow ME.MF = MC.MB\]

* Chứng minh: \[FB\] là tia phân giác của góc \[MFD\]

• Xét tứ giác \(AFHE\) có \(\widehat {AFH} = \widehat {AEH} = 90^\circ \) nên nội tiếp trong đường tròn đường kính \(AH\).

\( \Rightarrow \widehat {AFE} = \widehat {AHE}\) (góc nội tiếp cùng chắn cung \(AE)\)

Ta có \(BE\) cắt \(CF\) tại \(H\) nên \(H\) là trực tâm của \(\Delta ABC\) nên \(AH \bot BC\,\,{\rm{hay}}\,\,AD \bot BC\).

• Xét tứ giác \(BFHD\) có \(\widehat {BFH} = \widehat {BDH} = {90^o}\)nên nội tiếp trong đường tròn đường kính \(BH\).

\( \Rightarrow \widehat {BFD} = \widehat {BHD}\) (góc nội tiếp cùng chắn cung \(BD\))

Mà \(\widehat {BHD} = \widehat {AHE}\) (đối đỉnh) nên \(\widehat {BFD} = \widehat {AFE}\).

Lại có \(\widehat {BFM} = \widehat {AFE}\) (đối đỉnh)

Suy ra \(\widehat {BFD} = \widehat {BFM}\left( { = \widehat {AFE}} \right)\) hay \[FB\] là tia phân giác của góc \[\widehat {MFD}\].

c) Đường thẳng qua \[B\] và song song với \[AC\] cắt tia \[AD\] tại \[P\], cắt đoạn thẳng \[AM\] tại \[Q\]. Chứng minh \[B\] là trung điểm của \[PQ\].

 Từ \[D\] kẻ đường thẳng song song với \[MF\], cắt \[FC\] tại \[I\]

+ \[BQ//AC\] \[ \Rightarrow \] \[\frac{{BQ}}{{AC}} = \frac{{MB}}{{MC}}\] (hệ quả định lí Thalès)

+ \[BP//AC\] \[ \Rightarrow \] \[\frac{{BP}}{{AC}} = \frac{{DB}}{{DC}}\] (Hệ quả định lí Thalès)

+ \[FB\] là phân giác của \(\widehat {MFD}\) suy ra: \[\frac{{MB}}{{DB}} = \frac{{MF}}{{DF}}\] (tính chất đường phân giác) (1)

+ Chứng minh \[FC\] là phân giác của \(\widehat {EFD}\) suy ra \(\widehat {DFI} = \widehat {IFE}\)

Ta có \[\widehat {DBH} = \widehat {DFH}\] (cùng chắn cung  trong đường tròn đường kính \[BH\]

\[\widehat {EFH} = \widehat {EAH}\] (cùng chắn cung  trong đường tròn đường kính \[AH\]

Mà \[\widehat {DBH} = \widehat {EAH}\] (cùng phụ với góc \[\widehat {BCA}\]) nên \(\widehat {DFH} = \widehat {EFH}\)

\[ \Rightarrow FC\] là phân giác của \(\widehat {EFD}\) suy ra \(\widehat {DFI} = \widehat {IFE}\)

Mà \(\widehat {FID} = \widehat {IFE}\) (so le trong) \[ \Rightarrow \]\(\widehat {FID} = \widehat {DFI}\) \[ \Rightarrow \]\[\Delta \] \[DFI\] cân tại \[D\] \[ \Rightarrow \] \[DF = DI\]

+ \[DI//MF\]=> \[\frac{{CM}}{{CD}} = \frac{{MF}}{{DI}} = \frac{{MF}}{{DF}}\] (2)

Từ (1) và (2) \[ \Rightarrow \] \[\frac{{MB}}{{DB}} = \frac{{MC}}{{DC}}\]

\[ \Rightarrow \frac{{MB}}{{MC}} = \frac{{DB}}{{DC}} \Rightarrow BQ = BP\]suy ra \[B\] là trung điểm của \[PQ\]