Trong không gian \(Oxyz\), cho hai điểm \(A\left( {0;1;1} \right)\) và \(B\left( {1;2;3} \right)\). Phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua điểm \(A\) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {AB} \) là  

Chọn a) Sai | b) Đúng| c) Đúng | d) Đúng

a) Ta có \(E\left( {6;0;3} \right)\), \(H\left( {0;0;5} \right)\) và \(G\left( {0;5;4} \right)\). \[\]

Suy ra \(\overrightarrow {EH}  = \left( { - 6;0;2} \right)\); \(\overrightarrow {EG}  = \left( { - 6;5;1} \right)\).

Gọi \(\overrightarrow n \) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( {EFGH} \right)\).

\( \Rightarrow \overrightarrow n  = \left[ {\overrightarrow {EH} ,\overrightarrow {EG} } \right] = \left( { - 10; - 6; - 30} \right)\).

Phương trình mặt phẳng \(\left( {EFG} \right)\) là: \(10\left( {x - 0} \right) + 6\left( {y - 0} \right) + 30\left( {z - 5} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow 10x + 6y + 30z - 150 = 0\).

Do đó: \(a + b + c = 10 + 6 + 30 = 46\).

Chọn SAI.

b) Điểm \(A \in Ox\)\( \Rightarrow A\left( {6;0;0} \right)\).

Chọn ĐÚNG.

c) Ta có \(B\left( {6;5;0} \right)\).

Phương trình đường thẳng đi qua \(B\) và vuông góc với mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) là

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{x = 6}\\{y = 5}\end{array}}\\{z = t}\end{array}} \right.\).

Tọa độ điểm \(F\) là nghiệm của hệ phương trình

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{x = 6}\\{y = 5}\end{array}}\\{z = t}\end{array}}\\{10x + 6y + 30z - 150 = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{t = 2}\\{x = 6}\end{array}}\\{y = 5}\end{array}}\\{z = 2}\end{array}} \right.} \right.\)

\( \Rightarrow F\left( {6;5;2} \right)\).

Có \(\overrightarrow {EH}  = \left( { - 6;0;2} \right)\), \(\overrightarrow {EG}  = \left( { - 6;5;1} \right)\) và \(\overrightarrow {EF}  = \left( {0;5; - 1} \right)\).

Suy ra \({S_{EFGH}} = \frac{1}{2}\left| {\left[ {\overrightarrow {EH} ,\overrightarrow {EG} } \right]} \right| + \frac{1}{2}\left| {\left[ {\overrightarrow {EG} ,\overrightarrow {EF} } \right]} \right|\)

                     \( = \frac{1}{2}\sqrt {{{10}^2} + {6^2} + {{30}^2}}  + \frac{1}{2}\sqrt {{{10}^2} + {6^2} + {{30}^2}}  = 2\sqrt {259} \).

Số tiền ông Sơn cần dùng để mua lưới lợp là

\(2\sqrt {259}  \times 12000 \approx 386000\)(đồng).

Chọn ĐÚNG.

d) Ta thực hiện trải hình như sau

Suy ra \(EI = \sqrt {{{\left( {3 + 1} \right)}^2} + {{\left( {6 + 5 + 6} \right)}^2}}  = \sqrt {305} \).

Chọn ĐÚNG.

Đáp án: -525.

Khi xe dừng hẳn thì \(v\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow  - \frac{5}{2}t + b = 0 \Leftrightarrow t = \frac{{2b}}{5}\).

Theo đề bài ta có \(v\left( 6 \right) = a \Leftrightarrow  - \frac{5}{2} \cdot 6 + b = a \Leftrightarrow a = b - 15\).

Quãng đường vật chuyển động trong \(6\) giây đầu tiên là: \({S_1} = 6a = 6b - 90\) (m).

Quãng đường vật chuyển động từ giây thứ \(6\) đến giây thứ \(\frac{{2b}}{5}\) là:

\({S_2} = \int\limits_6^{\frac{{2b}}{5}} {\left( { - \frac{5}{2}t + b} \right)dt}  = \left. {\left( { - \frac{5}{4}{t^2} + bt} \right)} \right|_6^{\frac{{2b}}{5}} = \frac{1}{5}{b^2} - 6b + 45\) (m).

Vì kể từ lúc chuyển động đến lúc dừng thì vật đi được quãng đường là \(80\) (m) nên ta có:

\(S = {S_1} + {S_2} \Leftrightarrow 80 = 6b - 90 + \frac{1}{5}{b^2} - 6b + 45 \Leftrightarrow {b^2} = 625 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b = 25 \Rightarrow a = 10\,\,\left( {TM} \right)\\b =  - 25 \Rightarrow a =  - 40\,\,\left( {KTM} \right)\end{array} \right.\)

Vậy \({a^2} - {b^2} =  - 525\).