Từ vị trí A và B của một tòa nhà, người ta quan sát đỉnh C của một ngọn núi. Biết rằng độ cao AB là 70 m, phương nhìn AC tạo với phương nằm ngang góc \(30^\circ \), phương nhìn BC tạo với phương nằm ngang góc \(15^\circ 30'\). Hỏi ngọn núi đó cao bao nhiêu mét so với mặt đất? (Làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Lời giải

Chọn C.

Từ hình vẽ ta có \[\widehat {ABC} = 90^\circ  + 15^\circ 30' = 105^\circ 30'\].

Xét tam giác \[ABC\] có \[\widehat {CAB} = 60^\circ \], \[\widehat {ABC} = 105^\circ 30'\] ta có

\[\widehat {CAB} + \widehat {ABC} + \widehat {ACB} = 180^\circ \] (Định lý tổng ba góc trong tam giác)

\[ \Rightarrow \widehat {ACB} = 180^\circ  - \widehat {CAB} - \widehat {ABC}\]\[ \Rightarrow \widehat {ACB} = 180^\circ  - 60^\circ  - 105^\circ 30' = 14^\circ 30 & '\].

Áp dụng định lý sin trong tam giác \[ABC\], ta có \[\frac{{AC}}{{\sin \widehat {ABC}}} = \frac{{AB}}{{\sin \widehat {ACB}}}\]

\[ \Rightarrow AC = \frac{{AB\sin \widehat {ABC}}}{{\sin \widehat {ACB}}} = \frac{{70.\sin 105^\circ 30'}}{{\sin 14^\circ 30'}} \approx 269,4\](m).

Tam giác \[ACH\] vuông tại \[H\] nên ta có \[CH = AC.\sin \widehat {CAH} \approx 269,4.\sin 30^\circ  \approx 134,7\] (m).

Vậy ngọn núi cao khoảng \[134,7\]m so với mặt đất.