Một xưởng sản xuất hai loại sản phẩm là sản phẩm loại I và sản phẩm loại II. Mỗi kg sản phẩm loại I cần \(2{\mkern 1mu} \)kg nguyên liệu và \(30\) giờ, thu lời được \(40\) nghìn đồng. Mỗi kg sản phẩm loại II cần \(4{\mkern 1mu} \)kg nguyên liệu và \(15\) giờ, thu lời được \(30\) nghìn đồng. Xưởng có \(200{\mkern 1mu} \)kg nguyên liệu và \(1200\) giờ làm việc tối đa. Để có mức lời cao nhất xưởng sẽ sản xuất \(m{\mkern 1mu} \)kg sản phẩm loại I và \(n{\mkern 1mu} \)kg sản phẩm loại II, với \(m,n\) là các số tự nhiên. Tính giá trị \(m + 2n\).

Đáp án: 2,65.

Gọi \[I\] là trung điểm của \[BC\], do \[ABCD\] là nửa lục giác đều nên \[OI \bot AD\]Chọn hệ trục toạ độ \[{\rm{Ox}}yz\] như hình vẽ

Khi đó \[S\left( {0; - 2a;2a\sqrt 3 } \right),A\left( {0; - 2a;0} \right),B\left( {a\sqrt 3 ; - a;0} \right),C\left( {a\sqrt 3 ;a;0} \right),D\left( {0;2a;0} \right)\].

Gọi góc giữa 2 mặt phẳng \[\left( {SAB} \right)\] và \[\left( {SCD} \right)\] là \[b.\]

\[\begin{array}{l}\overrightarrow {SA} \left( {0;0; - 2a\sqrt 3 } \right),\overrightarrow {SB} \left( {a\sqrt 3 ;a; - 2a\sqrt 3 } \right),\overrightarrow {SC} \left( {a\sqrt 3 ;3a; - 2a\sqrt 3 } \right),\overrightarrow {SD} \left( {0;4a; - 2a\sqrt 3 } \right),\\\left[ {\overrightarrow {SA} ,\overrightarrow {SB} } \right] = \left( {2{a^2}\sqrt 3 ; - 6{a^2};0} \right),\left[ {\overrightarrow {SC} ,\overrightarrow {SD} } \right] = \left( {2{a^2}\sqrt 3 ;6{a^2};4{a^2}\sqrt 3 } \right)\end{array}\]

Suy ra vectơ pháp tuyến của \[\left( {SAB} \right)\] và \[\left( {SCD} \right)\] lần lượt là

\[\overrightarrow {{n_1}} \left( {1; - \sqrt 3 ;0} \right),\overrightarrow {{n_2}} \left( {1;\sqrt 3 ;2} \right),\cos b = \frac{{\left| {1 - 3 + 0} \right|}}{{\sqrt {1 + 3 + 0} .\sqrt {1 + 3 + 4} }} = \frac{1}{{\sqrt 8 }} \Rightarrow \tan b = \sqrt {\frac{1}{{c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}b}} - 1}  = \sqrt 7  \approx 2,65.\]

a) Đúng

Tọa độ của điểm \(A\left( {66;\, - 75;\,120} \right)\).

b) Đúng

Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = \left( { - 64;\,76;\, - 120} \right)\).

\(AB = \sqrt {{{\left( { - 64} \right)}^2} + {{76}^2} + {{\left( { - 120} \right)}^2}}  = \sqrt {24272}  = 4\sqrt {1517} \).

Thời gian mà máy bay sẽ bay từ điểm \(A\) đến điểm \(B\) là \(\frac{{4\sqrt {1517} }}{{240}} \approx 0,65\) giờ \( \approx 39\) phút.

c) Sai

Phương trình đường đi của máy bay là: \(AB:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2 - 64t}\\{y = 1 + 76t}\end{array}}\\{z =  - 120t}\end{array}} \right.\)

Phương trình đám mây \(\left( {MNP} \right)\) là: \(\frac{x}{{25}} + \frac{y}{{25}} + \frac{z}{{30}} = 1 \Leftrightarrow 6x + 6y + 5z - 150 = 0\).

Xét phương trình: \(6\left( {2 - 64t} \right) + 6\left( {1 + 76t} \right) + 5\left( { - 120t} \right) - 150 = 0\).

\( \Leftrightarrow 12 - 384t + 6 + 456t - 600t - 150 = 0\).

\( \Leftrightarrow  - 528t = 132\).

\( \Leftrightarrow t =  - \frac{1}{4}\).

+ Với \(t =  - \frac{1}{4}\) ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{x = 18}\\{y =  - 18}\end{array}}\\{z = 30\,\,\,}\end{array}} \right.\)

Vậy, độ cao của máy bay khi máy bay xuyên qua đám mây là \(30\,{\rm{km}}\).

D) Đúng

Khi máy bay tiếp đất tại điểm \(B\left( {2;\,1;\,0} \right)\).

Tọa độ của máy bay sau khi di chuyển về phía Tây thêm 2 km nữa là \(C\left( {2;\,3;\,0} \right)\).

Khi đó: \(CS = \sqrt {{2^2} + {{127}^2} + {{0,1}^2}}  \approx 127 > 125\) km.

Vậy đài quan sát sẽ không nhìn thấy máy bay.