Cho tam giác \(ABC\) với phân giác trong \(AD\). Biết \(AB = 5\), \(BC = 6\), \(CA = 7\). Khi đó \(\overrightarrow {AD} \) bằng:

Do \(MN\) là đường trung bình của tam giác \(ABC\) nên \(MN = \frac{1}{2}BC\).

Điểm \(P\) đối xứng với điểm \(M\) qua \(N\) nên \(MP = 2MN = BC\), do đó \(\left| {\overrightarrow {MP} } \right| = \left| {\overrightarrow {BC} } \right|\) (1).

Xét nửa mặt phẳng bờ \(AB\) chứa \(C\), ta có \(N\) là trung điểm \(AC\) nên \(N\) và \(C\) cùng phía \(AB\) hay cùng phía \(MB\) do đó \(\overrightarrow {MN} \) và \(\overrightarrow {BC} \) cùng hướng. Lại có \(P\) đối xứng \(M\) qua \(N\) nên \(\overrightarrow {MP} \) và \(\overrightarrow {MN} \) cùng hướng, dễ thấy \(\overrightarrow {MN}  \ne \overrightarrow 0 \) nên \(\overrightarrow {MP} \) và \(\overrightarrow {BC} \) cùng hướng. (2)

Từ \((1)\) và \((2)\), suy ra \(\overrightarrow {MP}  = \overrightarrow {BC} \).

Ta có: \(C{A^2} = D{A^2} + D{C^2} = {a^2} + {\left( {2a} \right)^2} = 5{a^2}\) (Theo định lí Pythagore trong tam giác vuông \(ADC\)).

\[ \Rightarrow \left| {\overrightarrow {CA} } \right| = CA = a\sqrt 5 \]. Tương tự: \(\left| {\overrightarrow {BD} } \right| = BD = \sqrt {A{B^2} + A{D^2}}  = \sqrt {{a^2} + {a^2}}  = a\sqrt 2 \).

Dễ thấy \(\Delta ABD\) vuông cân tại \(A\), do đó: \(\widehat {ABD} = 45^\circ  \Rightarrow \widehat {ABF} = \frac{{45^\circ }}{2} = 22,5^\circ \).

Xét \(\Delta ABF\) vuông tại \(A\), ta có: \(\left| {\overrightarrow {BF} } \right| = BF = \frac{{AB}}{{\cos \widehat {ABF}}} = \frac{a}{{\cos 22,5^\circ }} \approx 1,08a\).