Cho tam giác ABC đều tâm O, M là điểm bất kì trong tam giác. Hình chiếu của M xuống ba cạnh lần lượt là D, E, F. Hệ thức nào sau đây là đúng?

Lời giải

Chọn D.

Qua M kẻ các đường thẳng \({A_1}{B_1}//AB,{A_2}{C_1}//AC,{B_2}{C_2}//BC\)

\( \Rightarrow \) Các tam giác đều \(\Delta M{B_1}{C_1},\Delta M{A_1}{C_2},\Delta M{A_2}{B_2}\)

Ta có: \(\overrightarrow {MD}  = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {M{B_1}}  + \overrightarrow {M{C_1}} } \right),\overrightarrow {ME}  = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {M{A_1}}  + \overrightarrow {M{C_2}} } \right),\overrightarrow {MF}  = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {M{B_2}}  + \overrightarrow {M{A_2}} } \right)\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {MD}  + \overrightarrow {ME}  + \overrightarrow {MF}  = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {M{A_1}}  + \overrightarrow {M{A_2}} } \right) + \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {M{B_1}}  + \overrightarrow {M{B_2}} } \right) + \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {M{C_1}}  + \overrightarrow {M{C_2}} } \right)\)

\( = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC} } \right) = \frac{3}{2}\overrightarrow {MO} \).