Cho hàm số \[y = f(x) = \frac{{{x^2} + 4x - 1}}{{x - 1}}.\]

a) Đúng

Ta có:

\[y'\left( x \right) =  - {7.10^{ - 4}}y\left( x \right) \Rightarrow \frac{{y'\left( x \right)}}{{y\left( x \right)}} =  - {7.10^{ - 4}}\]

Do đó: \[f'\left( x \right) = {\left( {\ln y\left( x \right)} \right)^\prime } = \frac{{y'\left( x \right)}}{{y\left( x \right)}} =  - {7.10^{ - 4}}\].

b) Đúng

Ta có: \[f'\left( x \right) =  - {7.10^{ - 4}} \Rightarrow f\left( x \right) =  - {7.10^{ - 4}}x + C\]

Mà: \[f\left( 0 \right) = \ln y\left( 0 \right) = \ln \left( {0,05} \right) \Rightarrow C = \ln \left( {0,05} \right)\]

Vậy \[f\left( x \right) =  - {7.10^{ - 4}}x + \ln \left( {0,05} \right)\].

c) Sai

Ta có: \[f\left( x \right) = \ln y\left( x \right) \Rightarrow y\left( x \right) = {e^{f\left( x \right)}} = {e^{ - {{7.10}^{ - 4}}x + \ln \left( {0,05} \right)}} = 0,05.{e^{ - {{7.10}^{ - 4}}x}}\]

Do đó: \[y\left( {30} \right) - y\left( {15} \right) = 0,05.{e^{ - {{7.10}^{ - 4}}.30}} - 0,05.{e^{ - {{7.10}^{ - 4}}.15}} \approx  - {5,2.10^{ - 4}}\].

d) Sai

Nồng độ trung bình của chất gây bọt trong khoảng thời gian từ giây thứ 20 đến giây thứ 30 là:

\[\overline y  = \frac{1}{{30 - 20}}\int\limits_{20}^{30} {0,05.{e^{ - {{7.10}^{ - 4}}x}}{\rm{d}}x}  \approx 0,05\] (mol/L).

Đáp án: 602

Tổng doanh thu: \(F\left( x \right) =  - 0,001{x^3} + 0,6{x^2} + 500x + 100000\).

Tổng chi phí sản xuất (điện, lương.): \(x \cdot G\left( x \right) = x\left( {0,0002{x^2} + \frac{{40000}}{x}} \right) = 0,0002{x^3} + 40000\)

Chi phí nguyên vật liệu sau khi giảm giá 2%:

\(0,98 \cdot H\left( x \right) = \frac{{49}}{{50}}\left( { - \frac{4}{{49}}{x^2} + \frac{{750}}{{49}}x + \frac{{1500000}}{{49}}} \right) =  - 0,08{x^2} + 15x + 30000\)

Tổng chi phí \(C\left( x \right)\):

\(C\left( x \right) = \left( {0,0002{x^3} + 40000} \right) + \left( { - 0,08{x^2} + 15x + 30000} \right) = 0,0002{x^3} - 0,08{x^2} + 15x + 70000\)

Lợi nhuận \(P\left( x \right)\):\(P\left( x \right) = F\left( x \right) - C\left( x \right)\)

\(P\left( x \right) = \left( { - 0,001{x^3} + 0,6{x^2} + 500x + 100000} \right) - \left( {0,0002{x^3} - 0,08{x^2} + 15x + 70000} \right)\)

\(P\left( x \right) =  - 0,0012{x^3} + 0,68{x^2} + 485x + 30000\)

Chúng ta cần tìm giá trị lớn nhất của hàm \(P\left( x \right)\) trên khoảng \(100 \le x \le 800\).

\(P\prime \left( x \right) =  - 0,0036{x^2} + 1,36x + 485\)

Giải phương trình \(P\prime \left( x \right) = 0\)\( \Leftrightarrow  - 0,0036{x^2} + 1,36x + 485 = 0\)

Nghiệm dương: \(x \approx 601,6857 \approx 602\)

Bảng biến thiên

Doanh nghiệp cần sản xuất \(602\) sản phẩm trong một tháng để đạt lợi nhuận lớn nhất.