Rút gọn biểu thức \(M = \left( {\frac{1}{{a - \sqrt a }} + \frac{1}{{\sqrt a - 1}}} \right):\frac{{\sqrt a + 1}}{{a - 2\sqrt a + 1}}\) với \(a \ge 0,a \ne 1\)

a) \(\Delta \)ABC ngoại tiếp đường tròn (I) với các tiếp điểm trên BC, CA, AB lần lượt tại D, E, F nên \(\widehat {IEC} = \widehat {IDC} = {90^0}\)nên \(\Delta \)IEC nội tiếp đường tròn đường kính IC (1) 0,25

\(\Delta \)IDC nội tiếp đường tròn đường kính IC (2)

Từ (1) và (2) nên 4 điểm E,I,D,C cùng thuộc một đường tròn

b) Ta có \(\widehat {IEH} + \widehat {{E_1}} = \widehat {IEC} = {90^0}\,(1)\)

Có CE,CD là hai tiếp tuyến cắt nhau tại C của (I) nên CE=CD và CI là tia phân giác \(\widehat {ECD}\)

Vì CE=CD, EI=ID nên IC là đường trung trực của ED nên \(ED \bot IC\)

hay \(\widehat {{H_1}} + \widehat {{E_2}} = {90^0}(4)\)

Có EI=HI nên \(\Delta \)EIH cân tại I nên \(\widehat {IEH} = \widehat {{H_1}}\,\,(5)\)

Từ (3), (4), (5) nên \(\widehat {{E_1}} = \widehat {{E_2}}\)hay EH là tia phân giác \(\widehat {DEC}\)có EH và CI là hai tia phân giác cắt nhau tại H nên H là tâm đường tròn nội tiếp \(\Delta \)CED

c) Gọi S là điểm chính giữa cung EFD. Chứng minh HN.SC=SN.HC

S là điểm chính giữa cung EFD và H là điểm chính giữa cung ED ( Vì IC là tia phân giác \(\widehat {EIC}\) nên SH là đường kính (I) nên \(\widehat {SEH} = {90^0}\)( góc nội tiếp chắn nửa (I)

\(\widehat {SEN} + \widehat {{E_2}} = {90^0};\widehat {AES} + \widehat {{E_1}} = {90^0}\) mà \(\widehat {{E_1}} = \widehat {{E_2}} \Rightarrow \widehat {SEN} = \widehat {AES}\)

Theo tính chất đường phân giác ngoài có \(\frac{{SN}}{{SC}} = \frac{{EN}}{{EC}}\) (6)

EH là tia phân giác \(\widehat {DEC}\) nên \(\frac{{HN}}{{HC}} = \frac{{EN}}{{EC}}\) (7)

Từ (6) và (7) ta có \(\frac{{HN}}{{HC}} = \frac{{SN}}{{SC}} \Rightarrow HN.SC = SN.HC\)

Một khối đồ chơi gồm hai khối cầu (\({H_1}\)), (\({H_2}\)) tiếp xúc với nhau, lần lượt có bán kính tương ứng là \({r_1},{r_2}\) thỏa mãn \({r_2} = \frac{1}{2}{r_1}\) ( hình bên). Biết thể tích của toàn bộ khối đồ chơi bằng 180 cm³. Tính thể tích khối cầu (\({H_1}\)).

Ta có \({V_1} = \frac{4}{3}\pi r_1^3,\,{V_2} = \frac{4}{3}\pi r_2^3 = \frac{4}{3}\pi {\left( {\frac{{{r_1}}}{2}} \right)^3} = \frac{1}{6}\pi r_1^3\)

\({V_1} + {V_2} = 180\,\,hay\,\left( {\frac{4}{3} + \frac{1}{6}} \right)\pi r_1^3 = 180\) nên \(\pi r_1^3 = 120\)\( \Rightarrow {V_1} = \frac{4}{3}.120 = 160\,(c{m^3})\)