Từ điểm M nằm ngoài đường tròn (O), kẻ tiếp tuyến MA, MB (A, B là tiếp điểm). Kẻ đường kính AD của đường tròn (O), gọi I là trung điểm của BD.

(a) Chứng minh tứ giác MAOB là tứ giác nội tiếp.

(b) Tia MB cắt OI tại E. Chứng minh DE là tiếp tuyến của (O).

(c) Đoạn thẳng OM cắt AB tại H, cắt (O) tại K. Chứng minh K là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MAB.

a) + MA là tiếp tuyến của (O) tại A (giả thiết) \( \Rightarrow \) MA \( \bot \)OA (tính chất tiếp tuyến) \( \Rightarrow \widehat {MAO} = 90^\circ \) nên điểm A thuộc đường tròn đường kính OM (1)

+ MB là tiếp tuyến của (O) tại B (giả thiết) \( \Rightarrow \) MB \( \bot \)OB (tính chất tiếp tuyến) \( \Rightarrow \widehat {MBO} = 90^\circ \) nên điển B thuộc đường tròn đường kính OM (2)

b) + Xét ΔOBD cân tại O (do OB = OD = R) có:

OI là đường trung tuyến (I là trung điểm BD)

\( \Rightarrow \) OI là phân giác \(\widehat {BOD}\) (tính chất tam giác cân) nên \(\widehat {{O_1}} = \widehat {{O_2}}\)

+ Chứng minh ΔOBE = ΔODE (c.g.c)

\( \Rightarrow \widehat {OBE} = \widehat {ODE}\)mà \(\widehat {OBE} = 90^\circ \) (ME là tiếp tuyến của (O) tại B)

\( \Rightarrow \) DE \( \bot \)OD

Xét đường tròn (O): DE \(⊥\)OD mà D thuộc (O) nên DE là tiếp tuyến của (O) tại D

c) + Xét \(\Delta OAB\)cân tại \(O\left( {OA\; = \;OB\; = \;R} \right):\) OH là tia phân giác (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

\( \Rightarrow \) OH là đường cao (tính chất tam giác cân)

\( \Rightarrow \) \(\Delta AHK\)vuông tại H \( \Rightarrow \widehat {{A_1}} + \widehat {OKA} = 90^\circ \) (1)

+ Xét \(\Delta OAK\)cân tại \[O\left( {OA = OK = R} \right):\]\(\widehat {OAK} = \widehat {OKA}\) (tính chất \(\Delta \)cân) (2)

+ \(\widehat {{A_2}} + \widehat {OAK} = \widehat {MAO} = 90^\circ \) (3)

Từ (1) (2) (3) \[ \Rightarrow \]\(\widehat {{A_1}} = \widehat {{A_2}} \Rightarrow \) AK là phân giác \(\Delta MAB\)

+ Xét \(\Delta MAB\)có:

\(MH\)là phân giác (theo tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau);

\(AK\)là phân giác\(MH\)cắt \(AK\)tại \(K\) (cmt)

\( \Rightarrow \) \(K\)là tâm đường tròn nội tiếp \(\Delta MAB\)