Giải các hệ phương trình

a) \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 2\\\frac{3}{x} - \frac{4}{y} =  - 1\end{array} \right.\)

 b) \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{6}{{x - 1}} - \frac{5}{{y - 2}} = 7\\\frac{3}{{x - 1}} + \frac{2}{{y - 2}} =  - 1\end{array} \right.\)

c) \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{2}{{2x - y}} - \frac{6}{{x + y}} =  - 1\\\frac{2}{{2x - y}} - \frac{1}{{x + y}} = 0\end{array} \right.\)

b) Điều kiện \(\left\{ \begin{array}{l}x \ne 1\\y \ne 2\end{array} \right.\left( * \right)\)

Đặt \(u = \frac{1}{{x - 1}};v = \frac{1}{{y - 2}}\) ta có hệ phương trình

\(\left\{ \begin{array}{l}6u - 5v = 7\\3u + 2v =  - 1\end{array} \right.\)

\(\left\{ \begin{array}{l}u = \frac{1}{3}\\v =  - 1\end{array} \right.\)

Khi \(\left\{ \begin{array}{l}u = \frac{1}{3}\\v =  - 1\end{array} \right.\) suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{{x - 1}} = \frac{1}{3}\\\frac{1}{{y - 2}} =  - 1\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 1 = 3\\y - 2 =  - 1\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 4\\y = 1\end{array} \right.\)

So sánh với điều kiện \(\left( * \right)\) thấy thỏa mãn. Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất \(\left( {4;1} \right)\)

c) \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{2}{{2x - y}} - \frac{6}{{x + y}} =  - 1\\\frac{2}{{2x - y}} - \frac{1}{{x + y}} = 0\end{array} \right.\)Điều kiện \(y \ne 2x;y \ne  - x\)

Đặt \(u = \frac{1}{{2x - y}};v = \frac{1}{{x + y}}\) ta có hệ phương trình

\(\left\{ \begin{array}{l}2u - 6v =  - 1\\2u - v = 0\end{array} \right.\)

\(\left\{ \begin{array}{l}u = \frac{1}{{10}}\\v = \frac{1}{5}\end{array} \right.\)

Trở lại ẩn \(x,y\) ta có \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{{2x - y}} = \frac{1}{{10}}\\\frac{1}{{x + y}} = \frac{1}{5}\end{array} \right.\) do đó \(\left\{ \begin{array}{l}2x - y = 10\\x + y = 5\end{array} \right.\) hay \(\left\{ \begin{array}{l}x = 5\\y = 0\end{array} \right.\)

Vậy hệ có nghiệm duy nhất \(\left( {5;0} \right)\)