Cho biểu thức \(P = \left( {\frac{1}{{\sqrt x + 1}} - \frac{{x + 2}}{{x\sqrt x + 1}}} \right):\frac{2}{{\sqrt x }}\).
a) Rút gọn \(P\).

b) Chứng minh rằng biểu thức \({\rm{P}}\) luôn luôn âm với mọi giá trị của \({\rm{x}}\) làm \({\rm{P}}\) xác định.

Câu hỏi trong đề: 13 bài tập Toán 9 Cánh diều Ôn tập cuối chương 3 có đáp án !!

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

a) Điều kiện : \(x > 0\). Khi đó ta có \(P = \frac{{\left( {x - \sqrt x + 1} \right) - \left( {x + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {x - \sqrt x + 1} \right)}}:\frac{2}{{\sqrt x }} = \frac{{ - \left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {x - \sqrt x + 1} \right)}} \cdot \frac{{\sqrt x }}{2} = \frac{{ - \sqrt x }}{{2\left( {x - \sqrt x + 1} \right)}}\)

Ta có \(x > 0\) nên \( - \sqrt x < 0\),\(x - \sqrt x + 1 = {\left( {\sqrt x - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4} > 0.\) Do đó \({\rm{P}} < 0\) với mọi \({\rm{x}} > 0\).

Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho biểu thức \(P = \left( {\frac{{x + 3}}{{x - 9}} + \frac{1}{{\sqrt x + 3}}} \right):\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 3}}\).
a) Rút gọn \(P\). b) Chứng minh rằng \({\rm{P}} > \frac{1}{3}\).

Xem đáp án

Lời giải

a) Điều kiện : \(x > 0;x \ne 9\). Khi đó ta có

\(P = \frac{{x + 3 + \sqrt x - 3}}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}} \cdot \frac{{\sqrt x - 3}}{{\sqrt x }} = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}} \cdot \frac{{\sqrt x - 3}}{{\sqrt x }} = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x + 3}}\)
b) Xét hiệu\(P - \frac{1}{3} = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x + 3}} - \frac{1}{3} = \frac{{3\sqrt x + 3 - \sqrt x - 3}}{{3\left( {\sqrt x + 3} \right)}} = \frac{{2\sqrt x }}{{3\left( {\sqrt x + 3} \right)}} > 0({\rm{\;v\`i \;}}x > 0){\rm{.\;}}\)

Do đó \({\rm{P}} > \frac{1}{3}\).

Câu 2

Cho biểu thức \(P = \frac{1}{{\sqrt {x - 1} + \sqrt x }} + \frac{1}{{\sqrt {x - 1} - \sqrt x }} + \frac{{x\sqrt x + x}}{{\sqrt x + 1}}\).
a) Rút gọn \(P\).
b) Chứng minh rằng biểu thức \({\rm{P}}\) luôn luôn không âm với mọi giá trị của \({\rm{x}}\) làm \({\rm{P}}\) xác định.

Xem đáp án

Lời giải

a) Điều kiện : \(x \ge 1\). Khi đó ta có \(P = \frac{{\sqrt {x - 1} - \sqrt x + \sqrt {x - 1} + \sqrt x }}{{\left( {\sqrt {x - 1} + \sqrt x } \right)\left( {\sqrt {x - 1} - \sqrt x } \right)}} + \frac{{x\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\sqrt x + 1}} = \frac{{2\sqrt {x - 1} }}{{ - 1}} + x = x - 2\sqrt {x - 1} \)

Ta có \(P = x - 2\sqrt {x - 1} = \left( {x - 1} \right) - 2\sqrt {x - 1} + 1 = {(\sqrt {x - 1} - 1)^2} \ge 0\)

Vậy P luôn luôn không âm với mọi \(x \ge 1\).

Câu 3