Cho tam giác \[ABC\] vuông tại \[A\,\,\left( {AB < AC} \right)\] , lấy điểm \[M\] bất kỳ thuộc \[BC\](\[M\] khác \[B\,;\] \[M\] khác \[C\]). Kẻ \[MD\] vuông góc với \[AB\] tại \[D\], \[ME\] vuông góc với \[AC\] tại \[E\].

(a) Chứng minh tứ giác \[ADME\] là hình chữ nhật.

(b) Qua \[A\] kẻ tia \[Ax\] song song với \[DE\]; \[Ax\] cắt tia \[ME\] tại \[F\]. Trên tia \[MD\] lấy điểm \[G\] sao cho \[D\] là trung điểm của \[MG\]. Chứng minh tứ giác \[ADEF\] là hình bình hành và \[A\] là trung điểm của đoạn thẳng \[GF\].

(c) \[AM\] cắt \[DE\] tại \[O\], kẻ đường cao \[AH\]của tam giác \[ABC\]. Tính số đo góc \[DHE\].

Rút gọn các biểu thức sau

(a) \(A = 2x\left( {x - y} \right) + 2y\left( {x + y} \right) - \left( {x - y} \right)(x + y)\)

(b) \(B = {\left( {x - 4} \right)^2} + {\left( {x + 2} \right)^2} - 2x\left( {x - 1} \right)\)

(c) \(C = \left( {4 - x} \right)\left( {4 + x} \right) + \left( {3{x^4} - 6{x^3} + 9{x^2}} \right):\left( {3{x^2}} \right)\)

Tính nhanh biểu thức:

(a) \({97^2} - 9\)

(b) \({28^2} + {72^2} + 28.144\)

Bạn An dự định mua \(x\) quyển vở với giá \(15\) nghìn đồng một quyển và \(y\) chiếc bút với giá \(5\) nghìn đồng một chiếc.

(a) Viết biểu thức biểu thị số tiền bạn An phải trả cho số vở và số bút dự định mua.

(b) Biết bạn An mua \(10\) quyển vở và \(12\) chiếc bút. Bạn An có \(300\) nghìn đồng, sau khi trả cho người bán hàng số tiền mua vở và bút thì An còn lại bao nhiêu tiền ?

Tìm \(x\), biết:

(a) \(3\left( {{x^2} - x} \right) - 3{x^2} - 18 = 0\)

(b) \({\rm{\;}}{(2x + 1)^2} - 4{(x - 1)^2} = 17\)

(c) \(16 - 4{(x + 1)^2} = 0\)

Cho \(a,b,c\) thỏa mãn \[a + b + c = 0\] và \[ab + bc + ac = 0\]. Tính giá trị của biểu thức \[A = {(a - 1)^{2023}} + {b^{2024}} + {(c + 1)^{2025}}\].

Tính số đo của góc \(C\) trong tứ giác \(ABCD\) ở hình vẽ bên.