Trong ngành hàng hải, lượng nhiên liệu tiêu thụ của một con tàu trong một đơn vị thời gian xấp xỉ tỷ lệ thuận với lập phương vận tốc của nó. Một tàu chở hàng xuất phát từ cảng Singapore đi đến cảng Tiên Sa cách 1000 hải lý. Gọi \[v\] (hải lý/giờ) là vận tốc của tàu (\[v > 0\]). Dữ liệu kỹ thuật cho thấy chi phí nhiên liệu vận hành của con tàu là \[0,02.{v^3}\] (USD/giờ). Các chi phí vận hành cố định khác như lương thuyền viên, khấu hao, bảo hiểm, … không phụ thuộc vào vận tốc tàu là 625 USD/giờ. Hỏi thuyền trưởng cần duy trì vận tốc trung bình là bao nhiêu hải lý/giờ để tổng chi phí cho toàn bộ chuyến đi là thấp nhất?

Đáp án: 26,1.

Từ hình vẽ ta thấy hình chữ nhật \(OABC\) có hai kích thước là\(7\,{\rm{m}},\,\,5\,{\rm{m}}\).

\( \Rightarrow {S_{OABC}} = 7.5 = 35\,{{\rm{m}}^{\rm{2}}}\).

Phương trình parabol: \(y = a{x^2} + bc + c\,\left( {a \ne 0} \right)\).

Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{y\left( 0 \right) = 5}\\{y\left( 5 \right) = 0}\end{array}}\\{ - \frac{b}{{2a}} = 5}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{c = 5\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{25a + 5b + c = 0}\end{array}}\\{b =  - 10a\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{a = \frac{1}{5}}\\{b =  - 2}\end{array}}\\{c = 5}\end{array}} \right.\)

\( \Rightarrow y = \frac{1}{5}{x^2} - 2x + 5\).

Diện tích của phần parabol với trục hoành bằng: \(S = \int\limits_0^7 {f\left( x \right)} \,{\rm{d}}x = \int\limits_{}^{} {\left( {\frac{1}{5}{x^2} - 2x + 5} \right) = \frac{{133}}{{15}}} \,{m^2}\).

Diện tích phần tô màu là \(35 - \frac{{155}}{{15}} = \frac{{392}}{{15}} \approx 26,1\,\,\left( {{m^2}} \right)\) .

a) Đúng

Tại thời điểm \(t = 0\), Flycam ở vị trí \(A(4;2;2)\) và máy bay ở vị trí \(B(0; - 2;0)\).

Khoảng cách AB được tính theo công thức:

\(AB = \sqrt {{{(0 - 4)}^2} + {{( - 2 - 2)}^2} + {{(0 - 2)}^2}}  = \sqrt {{{( - 4)}^2} + {{( - 4)}^2} + {{( - 2)}^2}} \)

\(AB = \sqrt {16 + 16 + 4}  = \sqrt {36}  = 6{\rm{ (km)}}\)

b) Đúng

Máy bay bắt đầu từ điểm \(B(0; - 2;0)\) và có vectơ vận tốc \({\vec v_2}(0;4;3)\).

Phương trình tham số của đường thẳng đi qua \(B\) và có vectơ chỉ phương \({\vec v_2}\) là:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0 + 0t}\\{y =  - 2 + 4t}\\{z = 0 + 3t}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0}\\{y =  - 2 + 4t}\\{z = 3t}\end{array}} \right.\)

c) Sai

  Tốc độ máy bay (\({v_2}\)): Là độ dài vectơ vận tốc \({\vec v_2}(0;4;3)\).

\({v_2} = \sqrt {{0^2} + {4^2} + {3^2}}  = \sqrt {25}  = 5\) (km/phút).

Đổi sang km/h: \(5 \times 60 = 300\) (km/h).

  Tốc độ Flycam (\({v_1}\)): Là độ dài vectơ vận tốc \({\vec v_1}( - 1;0;0)\).

\({v_1} = \sqrt {{{( - 1)}^2} + {0^2} + {0^2}}  = 1\) (km/phút).

Đổi sang km/h: \(1 \times 60 = 60\) (km/h). (Câu c ghi 1 km/h là Sai).

d) Đúng

  Vị trí Flycam tại thời điểm \(t\): \({M_1}(4 - t;2;2)\)

  Vị trí máy bay tại thời điểm \(t\): \({M_2}(0; - 2 + 4t;3t)\)

Bình phương khoảng cách giữa hai vật thể là:

\({d^2} = {(0 - (4 - t))^2} + {( - 2 + 4t - 2)^2} + {(3t - 2)^2}\)

\({d^2} = {(t - 4)^2} + {(4t - 4)^2} + {(3t - 2)^2}\)

\({d^2} = ({t^2} - 8t + 16) + (16{t^2} - 32t + 16) + (9{t^2} - 12t + 4)\)

\({d^2} = 26{t^2} - 52t + 36\)

Khoảng cách \(d\) nhỏ nhất khi \({d^2}\) nhỏ nhất và đạt được tại đỉnh của parabol có phương trình \(f(t) = 26{t^2} - 52t + 36\).

Khi đó \(t =  - \frac{b}{{2a}} =  - \frac{{ - 52}}{{2 \times 26}} = 1{\rm{ (ph\'u t)}}\).