Bạn An ném ngẫu nhiên một viên bi vào bảng gồm các ô vuông (như hình vẽ). Biết rằng mỗi lần ném, viên bi chỉ có thể nằm gọn vào một ô vuông màu trắng hoặc một ô vuông màu đen và việc viên bi nằm trong ô vuông màu trắng hay ô vuông màu đen là đồng khả năng.

a) Tính xác suất để trong 1 lần ném, viên bi nằm trong ô vuông màu đen.

b) Để trò chơi thêm kịch tính, An đặt ra quy luật tính điểm như sau: Nếu bi vào ô đen được cộng 5 điểm, nếu vào ô trắng bị trừ 2 điểm. Bạn An thực hiện ném bi 2 lần liên tiếp. Tính xác suất để sau 2 lần ném, tổng số điểm của An nhận được lớn hơn 0.

Hai bạn Nam và Hùng đua xe đạp. Biết rằng nếu cùng đạp xe, tốc độ của Nam gấp 2 lần tốc độ của Hùng. Tốc độ chạy bộ của Nam bằng \(\frac{1}{4}\) tốc độ đạp xe của Hùng. Trong cuộc đua, sau 5 phút Nam bị hỏng xe nên phải chạy bộ. Cả hai cùng về đích một lúc. Hỏi cuộc đua kéo dài bao lâu?

Cho tam giác \(ABC\) nhọn (\(AB < AC\)). Đường tròn tâm \(O\) đường kính \(BC\) cắt hai cạnh\(AB\), \(BC\) lần lượt tại \(E\) và \(F\)(\(E\) khác \(B\), \(F\) khác \(C\)). Các đoạn thẳng \(BF\) và \(CE\) cắt nhau tại \(H\), tia\(AH\) cắt \(BC\) tại \(K\).

a) Chứng minh bốn điểm \[\;A,{\rm{ }}E,{\rm{ }}H,{\rm{ }}F\] cùng thuộc một đường tròn.

b) Gọi \(D\) là giao điểm của \(AH\) và \((O)\) (\(D\) nằm giữa \(A\) và \(H\)). Chứng minh \(B{D^2} = BK.BC\) và \[\widehat {BDH} = \widehat {BFD}\].

c) Cho \(\widehat {BAC} = 60^\circ \) và \[BC = 6\,\,{\rm{cm}}\]. Tính diện tích phần hình giới hạn bởi cung \(EDF\) và dây \(EF\).

Cho phương trình : \(2{x^2} - 5x - 7 = 0\).

a) Chứng minh phương trình này luôn có 2 nghiệm phân biệt.

b) Không giải phương trình, tính giá trị biểu thức \(A = {x_1}\left( {{x_1}^2 + 2022} \right) - {x_2}\left( { - {x_2}^2 - 2023} \right) - {x_2}\).

Cho hàm số \(\left( P \right):\,y = \frac{{{x^2}}}{2}\).

a) Vẽ đồ thị \(\left( P \right)\) của hàm số trên.

b) Tìm điểm thuộc đồ thị \(\left( P \right)\) sao cho hoành độ và tung độ có tổng bằng 12.