Câu hỏi:

18/05/2026 188

Cho phương trình : $2{x^2} - 5x - 7 = 0$.

a) Chứng minh phương trình này luôn có 2 nghiệm phân biệt.

b) Không giải phương trình, tính giá trị biểu thức $A = {x_1}\left( {{x_1}^2 + 2022} \right) - {x_2}\left( { - {x_2}^2 - 2023} \right) - {x_2}$.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề thi thử vào lớp 10 môn Toán (không chuyên) năm 2026 THCS Hậu Giang (TP.HCM) có đáp án !!

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

a) Xét phương trình $2{x^2} - 5x - 7 = 0$ (có \[a = 2\,;\,\,b = - 5\,;\,\,c = - 7\])

$\Delta = {b^2} - 4ac = {\left( { - 5} \right)^2} - 4.2.\left( { - 7} \right) = 25 + 56 = 81 > 0$

Do đó phương trình này có 2 nghiệm phân biệt.

b) Theo hệ thức Viète, ta có : $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \frac{{ - b}}{a} = \frac{5}{2}\\{x_1}{x_2} = \frac{c}{a} = \frac{{ - 7}}{2}\end{array} \right.$

$A = {x_1}\left( {{x_1}^2 + 2022} \right) - {x_2}\left( { - {x_2}^2 - 2023} \right) - {x_2}$

$ = \left( {{x_1}^3 + {x_2}^3} \right) + 2022{x_1} + 2023{x_2} - {x_2}$

$ = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^3} - 3{x_1}{x_2}\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 2022\left( {{x_1} + {x_2}} \right)$

Thay ${x_1} + {x_2} = \frac{5}{2};{x_1}{x_2} = \frac{{ - 7}}{2}$,ta được:$A = {\left( {\frac{5}{2}} \right)^3} - 3.\frac{5}{2}.\left( {\frac{{ - 7}}{2}} \right) + 2022.\frac{5}{2} = \frac{{125}}{8} + \frac{{105}}{4} + 5055 = \frac{{40\,\,775}}{8}$.

Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Hai bạn Nam và Hùng đua xe đạp. Biết rằng nếu cùng đạp xe, tốc độ của Nam gấp 2 lần tốc độ của Hùng. Tốc độ chạy bộ của Nam bằng $\frac{1}{4}$ tốc độ đạp xe của Hùng. Trong cuộc đua, sau 5 phút Nam bị hỏng xe nên phải chạy bộ. Cả hai cùng về đích một lúc. Hỏi cuộc đua kéo dài bao lâu?

Xem đáp án

Lời giải

Gọi tốc độ xe đạp của Hùng là $x$(m/phút) $\left( {x > 0} \right)$

Gọi tốc độ xe đạp của Nam là $2x$ (m/phút)

Tốc độ chạy bộ của Nam là $\frac{1}{4}x$ (m/phút)

Gọi $t$ (phút) là thời gian về đích của hai bạn $\left( {t > 0} \right)$

Thời gian của Nam chạy bộ là $t - 5$ (phút)

Quãng đường bạn Nam chạy bộ là: $\frac{1}{4}x\left( {t - 5} \right)$ (m)

Quãng đường bạn Nam chạy xe đạp là: $2x.5$ (m)

Quãng đường đua xe là: $2x.5 + \frac{1}{4}x\left( {t - 5} \right) = 10x + \frac{1}{4}x\left( {t - 5} \right)$ (m) và $x.t\,(m)$ nên có phương trình: $10x + \frac{1}{4}x\left( {t - 5} \right) = x.t$

$x.\left[ {10 + \frac{1}{4}\left( {t - 5} \right)} \right] = x.t$

$10 + \frac{1}{4}t - \frac{5}{4} = t$

$t = \frac{{35}}{3}$( nhận)

Vậy cuộc đua kéo dài $\frac{{35}}{3}$ phút hay 11 phút 40 giây.

Câu 2

Cho tam giác $ABC$ nhọn ($AB < AC$). Đường tròn tâm $O$ đường kính $BC$ cắt hai cạnh$AB$, $BC$ lần lượt tại $E$ và $F$($E$ khác $B$, $F$ khác $C$). Các đoạn thẳng $BF$ và $CE$ cắt nhau tại $H$, tia$AH$ cắt $BC$ tại $K$.

a) Chứng minh bốn điểm \[\;A,{\rm{ }}E,{\rm{ }}H,{\rm{ }}F\] cùng thuộc một đường tròn.

b) Gọi $D$ là giao điểm của $AH$ và $(O)$ ($D$ nằm giữa $A$ và $H$). Chứng minh $B{D^2} = BK.BC$ và \[\widehat {BDH} = \widehat {BFD}\].

c) Cho $\widehat {BAC} = 60^\circ $ và \[BC = 6\,\,{\rm{cm}}\]. Tính diện tích phần hình giới hạn bởi cung $EDF$ và dây $EF$.

Xem đáp án

Lời giải

Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC). Đường tròn tâm O đường kính BC cắt hai cạnh AB, BC lần lượt tại E và F, E khác B,F khác (C). Các đoạn thẳng BF và CE cắt nhau tại H tia AH cắt BC tại K (ảnh 1)

a) Chứng minh bốn điểm\[\;A,{\rm{ }}E,{\rm{ }}H,{\rm{ }}F\]cùng thuộc một đường tròn.

Ta có (tính chất góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Suy ra $EC \bot AB$ tại $E$và $BF \bot AC$ tại $F$

b) Gọi $D$ là giao điểm của $AH$và $(O)$ ($D$ nằm giữa $A$ và $H$). Chứng minh$B{D^2} = BK.BC$ và \[\widehat {BDH} = \widehat {BFD}\].

Ta có (tính chất góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Ta lại có $EC \bot AB$ tại $E$ và $BF \bot AC$ tại $F$.

Mà $BF$ và $CE$ cắt nhau tại $H$.

Do đó $H$ là trực tâm của tam giác $ABC$.

Suy ra $AH \bot BC$ tại $K$.

Chứng minh được $Δ B D K ∽ Δ B C D$ .

Suy ra $\frac{{BD}}{{BC}} = \frac{{BK}}{{BD}}$ hay $B{D^2} = BK.BC$.

Do $Δ B D K ∽ Δ B C D$ (cmt) suy ra $\widehat {BDH} = \widehat {BCD}$ (2 góc tương ứng)

Mà $\widehat {BCD} = \widehat {BFD}$ (2 góc nội tiếp cùng chắn cung \[BD\]).

Nên $\widehat {BDH} = \widehat {BFD}$.

c) Cho $\widehat {BAC} = 60^\circ $ và \[BC = 6cm\]. Tính diện tích phần hình giới hạn bởi cung $EDF$ và dây $EF$.

Do $\Delta AFB$ vuông tại \[F\] nên $\widehat {ABF} = 90^\circ - \widehat {BAF} = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ $.

Mà (góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung \[EF\])

Suy ra $\widehat {EOF} = 2 \cdot 30^\circ \, = 60^\circ $.

Xét tam giác \[EOF\] cân tại \[O\] (do OE = OF) có $\widehat {EOF} = 60^\circ $ nên tam giác \[EOF\] là tam giác đều.

Suy ra $EF = OF = OE = \frac{1}{2}BC = 3cm$

Diện tích hình quạt \[EOF\] là: \[{S_{qEOF}} = \frac{{\pi {R^2}n}}{{360}} = \frac{{\pi {{.3}^2}.60}}{{360}} = \frac{3}{2}\pi \,\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\]

Diện tích tam giác \[EOF\] là: \[{S_{\Delta EOF}} = \frac{{{3^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{9\sqrt 3 }}{4}\,\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\]

Vậy diện tích phần giới hạn bởi cung \[EDF\] và dây \[EF\] là:

\[S = \frac{3}{2}\pi - \frac{{9\sqrt 3 }}{4} \approx 0,8\,\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\]

Câu 3