Một cái sân hình chữ nhật có độ dài của một cạnh như hình vẽ. Ở góc sân, người ta làm một cái bồn hoa hình tròn có bán kính \[x\] mét \[\left( {x > 0} \right).\] Biết vòng tròn tiếp xúc với 2 cạnh của hình chữ nhật và khoảng cách từ cạnh (chiều dài) của hình chữ nhật đến đường tròn là 2 mét (xem hình minh họa). Cho \(\pi  = 3,14\).

a) Viết biểu thức biểu thị diện tích đất còn lại sau khi đã xây bồn hoa.

b) Hãy tính bán kính của bồn hoa hình tròn biết diện tích đất còn lại sau khi xây bồn hoa là \[54,71{\rm{ }}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}.\]

Hai bạn Nam và Hùng đua xe đạp. Biết rằng nếu cùng đạp xe, tốc độ của Nam gấp 2 lần tốc độ của Hùng. Tốc độ chạy bộ của Nam bằng \(\frac{1}{4}\) tốc độ đạp xe của Hùng. Trong cuộc đua, sau 5 phút Nam bị hỏng xe nên phải chạy bộ. Cả hai cùng về đích một lúc. Hỏi cuộc đua kéo dài bao lâu?

Cho tam giác \(ABC\) nhọn (\(AB < AC\)). Đường tròn tâm \(O\) đường kính \(BC\) cắt hai cạnh\(AB\), \(BC\) lần lượt tại \(E\) và \(F\)(\(E\) khác \(B\), \(F\) khác \(C\)). Các đoạn thẳng \(BF\) và \(CE\) cắt nhau tại \(H\), tia\(AH\) cắt \(BC\) tại \(K\).

a) Chứng minh bốn điểm \[\;A,{\rm{ }}E,{\rm{ }}H,{\rm{ }}F\] cùng thuộc một đường tròn.

b) Gọi \(D\) là giao điểm của \(AH\) và \((O)\) (\(D\) nằm giữa \(A\) và \(H\)). Chứng minh \(B{D^2} = BK.BC\) và \[\widehat {BDH} = \widehat {BFD}\].

c) Cho \(\widehat {BAC} = 60^\circ \) và \[BC = 6\,\,{\rm{cm}}\]. Tính diện tích phần hình giới hạn bởi cung \(EDF\) và dây \(EF\).

Cho phương trình : \(2{x^2} - 5x - 7 = 0\).

a) Chứng minh phương trình này luôn có 2 nghiệm phân biệt.

b) Không giải phương trình, tính giá trị biểu thức \(A = {x_1}\left( {{x_1}^2 + 2022} \right) - {x_2}\left( { - {x_2}^2 - 2023} \right) - {x_2}\).

Cho hàm số \(\left( P \right):\,y = \frac{{{x^2}}}{2}\).

a) Vẽ đồ thị \(\left( P \right)\) của hàm số trên.

b) Tìm điểm thuộc đồ thị \(\left( P \right)\) sao cho hoành độ và tung độ có tổng bằng 12.