Họ nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = 3{x^2} + \sin x\) là

Tọa độ đỉnh của parabol là $I\left(a;48\right)$, đi qua các điểm \(O\left( {0;\,0} \right)\) và \(A\left( {24;\,32} \right)\)

Khi đó \(y = k{\left( {x - a} \right)^2} + 48\) nên \[\left\{ \begin{array}{l}k{a^2} + 48 = 0\\k{\left( {24 - a} \right)^2} + 48 = 32\end{array} \right. \Rightarrow \frac{{{{\left( {24 - a} \right)}^2}}}{{{a^2}}} = \frac{1}{3} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 36 - 12\sqrt 3 \\a = 36 + 12\sqrt 3 \end{array} \right.\]

Kiểm tra lại điều kiện: \( - \frac{b}{{2a}} < 24\) nên chọn \(a = 36 - 12\sqrt 3 \) thỏa mãn\( \Rightarrow \)\(k = \frac{{ - {{\left( {\sqrt 3  + 1} \right)}^2}}}{{36}}\)

Vậy phương trình parabol là: \(y = \frac{{ - {{\left( {\sqrt 3  + 1} \right)}^2}}}{{36}}{\left( {x - 36 + 12\sqrt 3 } \right)^2} + 48\)

Đường thẳng \(OA\) đi qua \(\left\{ \begin{array}{l}O\left( {0;\,0} \right)\\A\left( {24;32} \right)\end{array} \right.\) có phương trình \(y = \frac{4}{3}x\)

Xét mệnh đề a):

Xét \(\left( {Oxy} \right)\), gọi \(H\)là trung điểm \(CD\), ta có \(CD = 9,6 \Rightarrow DH = 4,8 \Rightarrow {y_D} =  - 4,8\)

Tam giác \(DOH\)vuông tại \(H\) nên \(OH = \sqrt {O{D^2} - D{H^2}}  = \sqrt {{5^2} - {{4,8}^2}}  = 1,4 \Rightarrow {x_D} = 1,4\)

Vậy \(D\left( {1,4; - 4,8;0} \right)\) nên mệnh đề a) đúng

Xét mệnh đề b):

Do \(AB = 14 \Rightarrow AK = 7 \Rightarrow A\left( {{x_A}; - 7;0} \right),\left( {{x_A} > 0} \right)\) mà \(\Delta SOA\) vuông tại \(O\) nên ta có:

\(O{A^2} + S{O^2} = S{A^2} \Leftrightarrow {x_A} = 22 \Rightarrow A\left( {22; - 7;0} \right)\)\( \Rightarrow \overrightarrow {DA}  = \left( {20,6; - 2,2;0} \right)\)