Trong không gian với hệ trục tọa độ \[Oxyz\], cho hai điểm \(A\left( {2\,;\, - 2\,;\,1} \right)\) và \(B\left( {0\,;\,1\,;\,2} \right)\). Tọa độ điểm \(M\) thuộc mặt phẳng \[\left( {Oxy} \right)\] sao cho ba điểm \(A,{\rm{ }}B,{\rm{ }}M\) thẳng hàng là:

Xét mệnh đề a)

Ta có: \(\left| {\overrightarrow u } \right| = 1 \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} = 1\,\,\left( * \right)\) vào theo đề bài thì \(\left\{ \begin{array}{l}a = \cos 45^\circ  = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\\b = \cos 60^\circ  = \frac{1}{2}\end{array} \right.\) thay vào \(\left( * \right)\) ta được: \[{\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)^2} + {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} + {c^2} = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}c = \frac{1}{2}\\c =  - \frac{1}{2}\end{array} \right.\] mà vectơ đơn vị tạo với trục \(Oz\) một góc nhón nên khi đó \(\cos \left( {\overrightarrow u ;\,Oz} \right) = c > 0 \Rightarrow c = \frac{1}{2}\) nên mệnh đề a) đúng

Xét mệnh đề b)

Ta có: \(S = \int\limits_0^5 {v\left( t \right){\rm{d}}t = \int\limits_0^5 {\left( {mt + 10} \right){\rm{d}}t = 125 \Leftrightarrow } } \,\,m = 6\) nên mệnh đề b) sai

Xét mệnh đề c)

Đường thẳng đi qua \(A\left( {1;\,2;\,0} \right)\) và có một vectơ chỉ phương là \(\left( {\sqrt 2 ;\,1;\,1} \right)\) nên phương trình quỹ đạo là: \(\frac{{x - 1}}{{\sqrt 2 }} = \frac{{y - 2}}{1} = \frac{z}{1}\) nên mệnh đề c) đúng

Xét mệnh đề d)

Độ cao chính là tọa độ \(z\) của thiết bị. Quãng đường thiết bị bay được là \({S_{10}} = \int\limits_0^{10} {\left( {6t + 10} \right)dt}  = 400\)

Tọa độ của thiết bị tại thời điểm \(t\) là \(O{M_t} = OA + {S_t}.\overrightarrow u \)

Ta có: \(OB = \frac{1}{3}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{6} \Rightarrow BH = 12 - \frac{{a\sqrt 3 }}{6} \Rightarrow OH = \sqrt {B{H^2} - O{B^2}}  = ... = \sqrt {144 - 4a\sqrt 3 } \)

Suy ra thể tích \(V = \frac{1}{3}.OH.{S_\Delta } = \frac{1}{3}.\sqrt {144 - 4a\sqrt 3 } .\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\) với \(0 \le a \le 12\sqrt 3 \).

Xét hàm số \(V\left( a \right) = \frac{1}{3}.\sqrt {144 - 4a\sqrt 3 } .\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\) trên đoạn \(\left[ {0;12\sqrt 3 } \right]\)

Ta có: \[V'\left( a \right) = \frac{1}{3}.\frac{{ - 30{a^2} + 288a\sqrt 3 }}{{4\sqrt {144 - 4a\sqrt 3 } }} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 0\\a = \frac{{48\sqrt 3 }}{5} \in \left[ {0;12\sqrt 3 } \right]\end{array} \right.\] và \[V''\left( {\frac{{48\sqrt 3 }}{5}} \right) < 0\]

Suy ra: \[\max V = \mathop {\max }\limits_{\left[ {0;12\sqrt 3 } \right]} V\left( a \right) = V\left( {\frac{{48\sqrt 3 }}{5}} \right) = \frac{{6912\sqrt {15} }}{{125}} \approx 214\]