Người ta cần tạo ra một vật trang trí có hình dạng là một khối tròn xoay bằng cách quay hình phẳng \(\left( H \right)\) quanh trục \(BC\). Biết rằng hình phẳng \(\left( H \right)\) được giới hạn bởi hai cạnh \(AB\) và \(BC\) của hình chữ nhật với \(AB = 12\)cm, một cung phần tư của elip \(\left( E \right)\) có độ dài trục bé bằng \(8\)cm và trục lớn gấp đôi trục bé, một cung tròn \(\left( C \right)\) có tâm là trung điểm của cạnh \(AD\) và có bán kính bằng \(8\)cm. Khi đó hãy tính thể tích khối tròn xoay theo đơn vị cm3 (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)

Xét mệnh đề a)

Ta có: \(\left| {\overrightarrow u } \right| = 1 \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} = 1\,\,\left( * \right)\) vào theo đề bài thì \(\left\{ \begin{array}{l}a = \cos 45^\circ  = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\\b = \cos 60^\circ  = \frac{1}{2}\end{array} \right.\) thay vào \(\left( * \right)\) ta được: \[{\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)^2} + {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} + {c^2} = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}c = \frac{1}{2}\\c =  - \frac{1}{2}\end{array} \right.\] mà vectơ đơn vị tạo với trục \(Oz\) một góc nhón nên khi đó \(\cos \left( {\overrightarrow u ;\,Oz} \right) = c > 0 \Rightarrow c = \frac{1}{2}\) nên mệnh đề a) đúng

Xét mệnh đề b)

Ta có: \(S = \int\limits_0^5 {v\left( t \right){\rm{d}}t = \int\limits_0^5 {\left( {mt + 10} \right){\rm{d}}t = 125 \Leftrightarrow } } \,\,m = 6\) nên mệnh đề b) sai

Xét mệnh đề c)

Đường thẳng đi qua \(A\left( {1;\,2;\,0} \right)\) và có một vectơ chỉ phương là \(\left( {\sqrt 2 ;\,1;\,1} \right)\) nên phương trình quỹ đạo là: \(\frac{{x - 1}}{{\sqrt 2 }} = \frac{{y - 2}}{1} = \frac{z}{1}\) nên mệnh đề c) đúng

Xét mệnh đề d)

Độ cao chính là tọa độ \(z\) của thiết bị. Quãng đường thiết bị bay được là \({S_{10}} = \int\limits_0^{10} {\left( {6t + 10} \right)dt}  = 400\)

Tọa độ của thiết bị tại thời điểm \(t\) là \(O{M_t} = OA + {S_t}.\overrightarrow u \)

Ta có: \(OB = \frac{1}{3}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{6} \Rightarrow BH = 12 - \frac{{a\sqrt 3 }}{6} \Rightarrow OH = \sqrt {B{H^2} - O{B^2}}  = ... = \sqrt {144 - 4a\sqrt 3 } \)

Suy ra thể tích \(V = \frac{1}{3}.OH.{S_\Delta } = \frac{1}{3}.\sqrt {144 - 4a\sqrt 3 } .\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\) với \(0 \le a \le 12\sqrt 3 \).

Xét hàm số \(V\left( a \right) = \frac{1}{3}.\sqrt {144 - 4a\sqrt 3 } .\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\) trên đoạn \(\left[ {0;12\sqrt 3 } \right]\)

Ta có: \[V'\left( a \right) = \frac{1}{3}.\frac{{ - 30{a^2} + 288a\sqrt 3 }}{{4\sqrt {144 - 4a\sqrt 3 } }} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 0\\a = \frac{{48\sqrt 3 }}{5} \in \left[ {0;12\sqrt 3 } \right]\end{array} \right.\] và \[V''\left( {\frac{{48\sqrt 3 }}{5}} \right) < 0\]

Suy ra: \[\max V = \mathop {\max }\limits_{\left[ {0;12\sqrt 3 } \right]} V\left( a \right) = V\left( {\frac{{48\sqrt 3 }}{5}} \right) = \frac{{6912\sqrt {15} }}{{125}} \approx 214\]