Người ta cần tạo ra một vật trang trí có hình dạng là một khối tròn xoay bằng cách quay hình phẳng \(\left( H \right)\) quanh trục \(BC\). Biết rằng hình phẳng \(\left( H \right)\) được giới hạn bởi hai cạnh \(AB\) và \(BC\) của hình chữ nhật với \(AB = 12\)cm, một cung phần tư của elip \(\left( E \right)\) có độ dài trục bé bằng \(8\)cm và trục lớn gấp đôi trục bé, một cung tròn \(\left( C \right)\) có tâm là trung điểm của cạnh \(AD\) và có bán kính bằng \(8\)cm. Khi đó hãy tính thể tích khối tròn xoay theo đơn vị cm3 (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)

Xét mệnh đề a)

Vận tốc ban đầu tại \(A\) là \({v_0} = 72\)(km/h)\( = 20\)(m/s) và quãng đường \(AB = 280\)m

Tại \(t = 0\), xe bắt đầu hãm phanh nên \(v\left( 0 \right) = 20 \Rightarrow a.0 + b = 20 \Rightarrow b = 20\)

Quãng đường đi được trong \(4\) giây là \(70\)m: \({S_1} = \int\limits_0^4 {\left( {at + 20} \right){\rm{d}}t = 70 \Leftrightarrow a =  - 1,25} \)

Vận tốc giới hạn tại thời điểm kết thúc giai đoạn 1 là \(t = 4\) nên \({v_{gh}} = v\left( 4 \right) =  - 1,25.4 + 20 = 15\)

Vậy vận tốc giới hạn là: \({v_{gh}} = 15.3,6 = 54\)(km/h) nên mệnh đề a) sai

Xét mệnh đề b)

Theo câu a) nên \(a =  - 1,25\) nên mệnh đề b) đúng

Xét mệnh đề c)

Xe giữ nguyên vận tốc giới hạn \({v_2} = 15\)(m/s) nên quãng đường đi được trong giai đoạn 2 là:

\({S_2} = {v_2}.t = 15.10 = 150\)(m) nên mệnh đề c) sai

Quãng đường còn lại cho giai đoạn \(3\): \({S_3} = {S_{AB}} - {S_1} - {S_2} = 280 - 70 - 150 = 60\)(m)

Tại thời điểm bắt đầu giai đoạn 3: \({v_3}\left( 0 \right) = c{.0^2} + d = 15 \Rightarrow d = 15\)

Tại thời điểm \(T\) thì xe dừng hẳng nên vận tốc bằng \(0 \Leftrightarrow {v_3}\left( T \right) = c{T^2} + 15 = 0 \Rightarrow c{T^2} =  - 15\,\,\left( * \right)\)

Quãng đường đi được là \(60\)m nên \({S_3} = \int\limits_0^T {\left( {c{t^3} + 15} \right){\rm{d}}t = 60} \) kết hợp \(\left( * \right)\) suy ra \(T = 6\) (giây)

Thay \(T = 6\) vào \(\left( * \right)\) suy ra \(c =  - \frac{5}{{12}}\)