Trong không gian với hệ toạ độ \(Oxyz\) (đơn vị trên các trục là mét), một thiết bị bay không người lái xuất phát từ điểm \(A\left( {1;\,2;\,0} \right)\). Thiết bị chuyển động thẳng nhanh dần theo hướng của vectơ đơn vị \(\overrightarrow u = \left( {a;\,b;\,c} \right)\) với độ dài \(\left| {\overrightarrow u } \right| = 1\). Tốc độ của thiết bị phụ thuộc vào thời gian \(t\) (giây) theo công thức \(v\left( t \right) = mt + 10\)(m/s), trong đó \(m\) là hằng số dương. Biết rằng sau \(5\) giây kể từ lúc xuất phát, thiết bị đi được quãng đường \(125\)m. Vectơ chỉ phương chuyển động \(\overrightarrow u \) tạo với tia \(Ox\) một góc \(45^\circ \), tạo với tia \(Oy\) một góc \(60^\circ \) và tạo với tia \(Oz\) một góc nhọn.

Ta có: \(OB = \frac{1}{3}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{6} \Rightarrow BH = 12 - \frac{{a\sqrt 3 }}{6} \Rightarrow OH = \sqrt {B{H^2} - O{B^2}}  = ... = \sqrt {144 - 4a\sqrt 3 } \)

Suy ra thể tích \(V = \frac{1}{3}.OH.{S_\Delta } = \frac{1}{3}.\sqrt {144 - 4a\sqrt 3 } .\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\) với \(0 \le a \le 12\sqrt 3 \).

Xét hàm số \(V\left( a \right) = \frac{1}{3}.\sqrt {144 - 4a\sqrt 3 } .\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\) trên đoạn \(\left[ {0;12\sqrt 3 } \right]\)

Ta có: \[V'\left( a \right) = \frac{1}{3}.\frac{{ - 30{a^2} + 288a\sqrt 3 }}{{4\sqrt {144 - 4a\sqrt 3 } }} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 0\\a = \frac{{48\sqrt 3 }}{5} \in \left[ {0;12\sqrt 3 } \right]\end{array} \right.\] và \[V''\left( {\frac{{48\sqrt 3 }}{5}} \right) < 0\]

Suy ra: \[\max V = \mathop {\max }\limits_{\left[ {0;12\sqrt 3 } \right]} V\left( a \right) = V\left( {\frac{{48\sqrt 3 }}{5}} \right) = \frac{{6912\sqrt {15} }}{{125}} \approx 214\]

Xét mệnh đề a)

Chi phí sản xuất \(10\) sản phẩm là \(220\,500\) đồng nên ta có phương trình:

\(C\left( {10} \right) = m{.10^2} + n.10 + 200000 = 220500 \Leftrightarrow 10m + n = 2050\,\,\left( 1 \right)\)

Chi phí biên là đạo hàm của hàm chi phí: \(C'\left( x \right) = 2mx + n\) và tại mức sản lượng \(50\) là \(2500\) đồng nên ta có: \(C'\left( {50} \right) = 2m.50 + n = 2500 \Leftrightarrow 100m + n = 2500\,\,\left( 2 \right)\)

Giải hệ \(\left\{ \begin{array}{l}10m + n = 2050\\100m + n = 2500\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 5\\n = 2000\end{array} \right.\) suy ra \(200m - n =  - 1000\) nên mệnh đề a) đúng

Xét mệnh đề b)

Khi đó hàm chi phí: \(C\left( x \right) = 5{x^2} + 2000x + 200\,000\)

Hàm doanh thu: \(F\left( x \right) = {x^3} - 447{x^2} + 65\,000x + 200\,000\) có \(F'\left( x \right) = 3{x^2} - 894x + 65000 = 0\)

Giải \(F'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} - 894x + 65000 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 125,89\\x = 172,1\end{array} \right.\) và có bảng biến thiên:

Xét \(F\left( {125} \right) = 3293750 < F\left( {126} \right) = 3293804\) nên doanh thu lớn nhất đạt được khi sản xuất \(126\) sản phẩm nên mệnh đề b) đúng

Xét mệnh đề c)

Hàm lợi nhuận: \(L\left( x \right) = F\left( x \right) - G\left( x \right) = {x^3} - 452{x^2} + 63000x \Rightarrow L\left( {10} \right) = 585800 \ne 600000\) nên mệnh đề c) sai

Xét mện đề d)

Ta có: \(L'\left( x \right) = 3{x^2} - 904x + 63000 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 109,43\\x = 191,90\end{array} \right.\) và ta có bảng biến thiên như sau:

Xét \(L\left( {109} \right) = 2791817 > L\left( {110} \right) = 2791800\) nên lợi nhuận lớn nhất đạt được khi sản xuất \(109\) sản phẩm nên mệnh đề d) sai