Trong không gian với hệ toạ độ \(Oxyz\) (đơn vị trên các trục là mét), một thiết bị bay không người lái xuất phát từ điểm \(A\left( {1;\,2;\,0} \right)\). Thiết bị chuyển động thẳng nhanh dần theo hướng của vectơ đơn vị \(\overrightarrow u = \left( {a;\,b;\,c} \right)\) với độ dài \(\left| {\overrightarrow u } \right| = 1\). Tốc độ của thiết bị phụ thuộc vào thời gian \(t\) (giây) theo công thức \(v\left( t \right) = mt + 10\)(m/s), trong đó \(m\) là hằng số dương. Biết rằng sau \(5\) giây kể từ lúc xuất phát, thiết bị đi được quãng đường \(125\)m. Vectơ chỉ phương chuyển động \(\overrightarrow u \) tạo với tia \(Ox\) một góc \(45^\circ \), tạo với tia \(Oy\) một góc \(60^\circ \) và tạo với tia \(Oz\) một góc nhọn.

Xét mệnh đề a)

Vận tốc ban đầu tại \(A\) là \({v_0} = 72\)(km/h)\( = 20\)(m/s) và quãng đường \(AB = 280\)m

Tại \(t = 0\), xe bắt đầu hãm phanh nên \(v\left( 0 \right) = 20 \Rightarrow a.0 + b = 20 \Rightarrow b = 20\)

Quãng đường đi được trong \(4\) giây là \(70\)m: \({S_1} = \int\limits_0^4 {\left( {at + 20} \right){\rm{d}}t = 70 \Leftrightarrow a =  - 1,25} \)

Vận tốc giới hạn tại thời điểm kết thúc giai đoạn 1 là \(t = 4\) nên \({v_{gh}} = v\left( 4 \right) =  - 1,25.4 + 20 = 15\)

Vậy vận tốc giới hạn là: \({v_{gh}} = 15.3,6 = 54\)(km/h) nên mệnh đề a) sai

Xét mệnh đề b)

Theo câu a) nên \(a =  - 1,25\) nên mệnh đề b) đúng

Xét mệnh đề c)

Xe giữ nguyên vận tốc giới hạn \({v_2} = 15\)(m/s) nên quãng đường đi được trong giai đoạn 2 là:

\({S_2} = {v_2}.t = 15.10 = 150\)(m) nên mệnh đề c) sai

Quãng đường còn lại cho giai đoạn \(3\): \({S_3} = {S_{AB}} - {S_1} - {S_2} = 280 - 70 - 150 = 60\)(m)

Tại thời điểm bắt đầu giai đoạn 3: \({v_3}\left( 0 \right) = c{.0^2} + d = 15 \Rightarrow d = 15\)

Tại thời điểm \(T\) thì xe dừng hẳng nên vận tốc bằng \(0 \Leftrightarrow {v_3}\left( T \right) = c{T^2} + 15 = 0 \Rightarrow c{T^2} =  - 15\,\,\left( * \right)\)

Quãng đường đi được là \(60\)m nên \({S_3} = \int\limits_0^T {\left( {c{t^3} + 15} \right){\rm{d}}t = 60} \) kết hợp \(\left( * \right)\) suy ra \(T = 6\) (giây)

Thay \(T = 6\) vào \(\left( * \right)\) suy ra \(c =  - \frac{5}{{12}}\)