Một ô tô đang di chuyển với tốc độ \(72\)(km/h) tại vị trí \(A\) thì tài xế quan sát thấy biển báo giới hạn tốc độ nên đạp phanh để giảm tốc và hàm vận tốc được tuân theo quy luật \(v\left( t \right) = at + b\)(m/s). Sau \(4\) giây hãm phanh, xe đi được quãng đường là \(70\)m và vận tốc lúc này vừa đúng bằng tốc độ giới hạn cho phép. Tài xế tiếp tục giữ nguyên tốc độ giới hạn này đi tiếp trong \(10\) giây để đi qua hết khu vực này. Sau đó, xe tiếp tục giảm tốc theo quy luật \(v\left( t \right) = c{t^2} + d\)(m/s) và dừng hẳn tại \(B\). Biết tổng quãng đường từ \(A\) đến \(B\) bằng \(280\)m

Xét mệnh đề a)

Ta có: \(\left| {\overrightarrow u } \right| = 1 \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} = 1\,\,\left( * \right)\) vào theo đề bài thì \(\left\{ \begin{array}{l}a = \cos 45^\circ  = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\\b = \cos 60^\circ  = \frac{1}{2}\end{array} \right.\) thay vào \(\left( * \right)\) ta được: \[{\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)^2} + {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} + {c^2} = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}c = \frac{1}{2}\\c =  - \frac{1}{2}\end{array} \right.\] mà vectơ đơn vị tạo với trục \(Oz\) một góc nhón nên khi đó \(\cos \left( {\overrightarrow u ;\,Oz} \right) = c > 0 \Rightarrow c = \frac{1}{2}\) nên mệnh đề a) đúng

Xét mệnh đề b)

Ta có: \(S = \int\limits_0^5 {v\left( t \right){\rm{d}}t = \int\limits_0^5 {\left( {mt + 10} \right){\rm{d}}t = 125 \Leftrightarrow } } \,\,m = 6\) nên mệnh đề b) sai

Xét mệnh đề c)

Đường thẳng đi qua \(A\left( {1;\,2;\,0} \right)\) và có một vectơ chỉ phương là \(\left( {\sqrt 2 ;\,1;\,1} \right)\) nên phương trình quỹ đạo là: \(\frac{{x - 1}}{{\sqrt 2 }} = \frac{{y - 2}}{1} = \frac{z}{1}\) nên mệnh đề c) đúng

Xét mệnh đề d)

Độ cao chính là tọa độ \(z\) của thiết bị. Quãng đường thiết bị bay được là \({S_{10}} = \int\limits_0^{10} {\left( {6t + 10} \right)dt}  = 400\)

Tọa độ của thiết bị tại thời điểm \(t\) là \(O{M_t} = OA + {S_t}.\overrightarrow u \)

Ta có: \(OB = \frac{1}{3}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{6} \Rightarrow BH = 12 - \frac{{a\sqrt 3 }}{6} \Rightarrow OH = \sqrt {B{H^2} - O{B^2}}  = ... = \sqrt {144 - 4a\sqrt 3 } \)

Suy ra thể tích \(V = \frac{1}{3}.OH.{S_\Delta } = \frac{1}{3}.\sqrt {144 - 4a\sqrt 3 } .\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\) với \(0 \le a \le 12\sqrt 3 \).

Xét hàm số \(V\left( a \right) = \frac{1}{3}.\sqrt {144 - 4a\sqrt 3 } .\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\) trên đoạn \(\left[ {0;12\sqrt 3 } \right]\)

Ta có: \[V'\left( a \right) = \frac{1}{3}.\frac{{ - 30{a^2} + 288a\sqrt 3 }}{{4\sqrt {144 - 4a\sqrt 3 } }} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 0\\a = \frac{{48\sqrt 3 }}{5} \in \left[ {0;12\sqrt 3 } \right]\end{array} \right.\] và \[V''\left( {\frac{{48\sqrt 3 }}{5}} \right) < 0\]

Suy ra: \[\max V = \mathop {\max }\limits_{\left[ {0;12\sqrt 3 } \right]} V\left( a \right) = V\left( {\frac{{48\sqrt 3 }}{5}} \right) = \frac{{6912\sqrt {15} }}{{125}} \approx 214\]