Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\) như hình vẽ với đơn vị trên mỗi trục là mét, một cầu thủ bóng rổ đứng tại gốc tọa độ ném quả bóng từ độ cao \(2\)m với góc ném \(\theta = 45^\circ \) so với phương ngang thẳng về phía rổ theo quỹ đạo là một parabol \(\left( P \right)\) có trục đối xứng song song với trục \(Oz\) (xem như rổ là một điểm thuộc quỹ đạo). Biết rằng chiều cao theo tiểu chuẩn của rổ bóng rổ là \(3,05\)m và khoảng cách theo phương ngang từ vị trí ném đến rổ là \(10\)m. Tính chiều cao lớn nhất của quỹ đạo bay so với mặt đất? (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)

Xét mệnh đề a)

Vận tốc ban đầu tại \(A\) là \({v_0} = 72\)(km/h)\( = 20\)(m/s) và quãng đường \(AB = 280\)m

Tại \(t = 0\), xe bắt đầu hãm phanh nên \(v\left( 0 \right) = 20 \Rightarrow a.0 + b = 20 \Rightarrow b = 20\)

Quãng đường đi được trong \(4\) giây là \(70\)m: \({S_1} = \int\limits_0^4 {\left( {at + 20} \right){\rm{d}}t = 70 \Leftrightarrow a =  - 1,25} \)

Vận tốc giới hạn tại thời điểm kết thúc giai đoạn 1 là \(t = 4\) nên \({v_{gh}} = v\left( 4 \right) =  - 1,25.4 + 20 = 15\)

Vậy vận tốc giới hạn là: \({v_{gh}} = 15.3,6 = 54\)(km/h) nên mệnh đề a) sai

Xét mệnh đề b)

Theo câu a) nên \(a =  - 1,25\) nên mệnh đề b) đúng

Xét mệnh đề c)

Xe giữ nguyên vận tốc giới hạn \({v_2} = 15\)(m/s) nên quãng đường đi được trong giai đoạn 2 là:

\({S_2} = {v_2}.t = 15.10 = 150\)(m) nên mệnh đề c) sai

Quãng đường còn lại cho giai đoạn \(3\): \({S_3} = {S_{AB}} - {S_1} - {S_2} = 280 - 70 - 150 = 60\)(m)

Tại thời điểm bắt đầu giai đoạn 3: \({v_3}\left( 0 \right) = c{.0^2} + d = 15 \Rightarrow d = 15\)

Tại thời điểm \(T\) thì xe dừng hẳng nên vận tốc bằng \(0 \Leftrightarrow {v_3}\left( T \right) = c{T^2} + 15 = 0 \Rightarrow c{T^2} =  - 15\,\,\left( * \right)\)

Quãng đường đi được là \(60\)m nên \({S_3} = \int\limits_0^T {\left( {c{t^3} + 15} \right){\rm{d}}t = 60} \) kết hợp \(\left( * \right)\) suy ra \(T = 6\) (giây)

Thay \(T = 6\) vào \(\left( * \right)\) suy ra \(c =  - \frac{5}{{12}}\)