Bạn An có một hộp bút màu gồm 6 màu khác nhau. Bạn muốn dùng các bút màu này để tô màu cho \(6\) hình tròn nằm trên các đỉnh của một lục giác đều \(ABCDEF\). Bên trong lục giác đều này có thêm các đường thẳng nối với nhau tạo thành hai tam giác đều \(ACE\) và \(BDF\) (như hình vẽ) . Biết rằng khi tô màu thì hai đỉnh bất kỳ có đường nối trực tiếp với nhau thì không được tô cùng màu (màu sắc ở các đỉnh không kề nhau có thể được lặp lại). Hỏi bạn An có tất cả bao nhiêu cách để tô màu cho các hình tròn đó?
Câu hỏi trong đề: Đề ôn thi Tốt nghiệp THPT Toán có đáp án - Đề số 8 !!
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Đáp án:
4080
Tô màu cho ba đỉnh \(A,C,E\) và ba đỉnh này nối với nhau từng đôi một nên bắt buộc ba đỉnh này phải tô ba màu khác nhau
Số cách tô màu cho tam giác \(ACE\) là: \(6.5.4 = 120\) (cách)
Giả sử, tô ba màu cho các đỉnh \(A,C,E\) lần luợt là màu đỏ, xanh và vàng (gọi là nhóm màu cũ)
Lúc này, trong hộp bút còn lại ba màu chưa dùng (gọi là nhóm màu mới)
Tiếp theo ta tiến hành tô màu cho ba đỉnh còn lại là \(B,E,F\)
Với đỉnh \(B\) nằm giữa \(A\)(đỏ) và \(C\)(xanh) thì đỉnh \(B\) không được tô hai màu này
Nếu \(B\) dùng màu cũ thì chỉ được dùng màu vàng còn nếu dùng màu mới thì thoải mái chọn
Với đỉnh \(D\) nằm giữa \(C\)(xanh) và \(E\)(vàng) thì đỉnh \(D\) không được tô hai màu này
Nếu \(D\) dùng màu cũ thì chỉ được dùng màu đỏ
Với đỉnh \(F\) nằm giữa \(E\)(vàng) và \(A\)(đỏ) thì đỉnh \(F\) không được tô hai màu này
Nếu \(F\) dùng màu cũ thì chỉ được dùng màu xanh
Lưu ý: Ba đỉnh \(B,D,F\) cũng tạo thành tam giác nên chúng phải khác màu nhau nên ta xét các trường hợp có bao nhiêu màu mới được sử dụng
Trường hợp 1: Dùng cả ba màu mới cho \(B,D,F\) có \(3! = 6\)(cách)
Trường hợp 2: Dùng \(2\) màu mới và \(1\) màu cũ
Nếu đỉnh \(B\) tô màu cũ thì bắt buộc phải là màu vàng, hai đỉnh \(D,F\) lấy hai màu mới từ \(3\) màu mới có \(A_3^2 = 6\)(cách), tương tự cho hai đỉnh còn lại mỗi đỉnh có \(6\) cách
Vậy tổng trường hợp này có \(6 + 6 + 6 = 18\) cách
Trường hợp 3: Dùng \(1\) màu mới và \(2\) màu cũ
Nếu đỉnh \(B\) tô màu mới thì có \(3\) cách chọn màu mới cho \(B\), hai đỉnh còn lại phải dùng màu cũ thì \(D\) dùng màu đỏ, \(F\) dùng màu xanh nên số cách là \(3.1 = 3\)(cách)
Nếu đỉnh \(D\) tô màu mới thì có \(3\) cách chọn màu mới cho \(D\), hai đỉnh còn lại phải dùng màu cũ thì \(B\) dùng màu vàng, \(F\) dùng màu xanh nên số cách là \(3.1 = 3\)(cách)
Nếu đỉnh \(F\) tô màu mới thì có \(3\) cách chọn màu mới cho \(F\), hai đỉnh còn lại phải dùng màu cũ thì \(B\) dùng màu vàng, \(D\) dùng màu đỏ nên số cách là \(3.1 = 3\)(cách)
Vậy tổng số cách trong trường hợp này là: \(3 + 3 + 3 = 9\) cách
Trường hợp 4: Dùng cả ba màu cũ chỉ có 1 cách duy nhất là \(B\) tô màu vàng, \(D\) tô màu đỏ, \(F\) tô màu xanh
Suy ra số cách tô màu hợp lệ cho bộ ba \(\left( {B,D,F} \right)\) là \(6 + 18 + 9 + 1 = 34\)(cách)
Vậy số cách tô màu thỏa mãn yêu cầu bài toán là \(120.34 = 4080\)(cách)
Số cách tô màu cho tam giác \(ACE\) là: \(6.5.4 = 120\) (cách)
Giả sử, tô ba màu cho các đỉnh \(A,C,E\) lần luợt là màu đỏ, xanh và vàng (gọi là nhóm màu cũ)
Lúc này, trong hộp bút còn lại ba màu chưa dùng (gọi là nhóm màu mới)
Tiếp theo ta tiến hành tô màu cho ba đỉnh còn lại là \(B,E,F\)
Với đỉnh \(B\) nằm giữa \(A\)(đỏ) và \(C\)(xanh) thì đỉnh \(B\) không được tô hai màu này
Nếu \(B\) dùng màu cũ thì chỉ được dùng màu vàng còn nếu dùng màu mới thì thoải mái chọn
Với đỉnh \(D\) nằm giữa \(C\)(xanh) và \(E\)(vàng) thì đỉnh \(D\) không được tô hai màu này
Nếu \(D\) dùng màu cũ thì chỉ được dùng màu đỏ
Với đỉnh \(F\) nằm giữa \(E\)(vàng) và \(A\)(đỏ) thì đỉnh \(F\) không được tô hai màu này
Nếu \(F\) dùng màu cũ thì chỉ được dùng màu xanh
Lưu ý: Ba đỉnh \(B,D,F\) cũng tạo thành tam giác nên chúng phải khác màu nhau nên ta xét các trường hợp có bao nhiêu màu mới được sử dụng
Trường hợp 1: Dùng cả ba màu mới cho \(B,D,F\) có \(3! = 6\)(cách)
Trường hợp 2: Dùng \(2\) màu mới và \(1\) màu cũ
Nếu đỉnh \(B\) tô màu cũ thì bắt buộc phải là màu vàng, hai đỉnh \(D,F\) lấy hai màu mới từ \(3\) màu mới có \(A_3^2 = 6\)(cách), tương tự cho hai đỉnh còn lại mỗi đỉnh có \(6\) cách
Vậy tổng trường hợp này có \(6 + 6 + 6 = 18\) cách
Trường hợp 3: Dùng \(1\) màu mới và \(2\) màu cũ
Nếu đỉnh \(B\) tô màu mới thì có \(3\) cách chọn màu mới cho \(B\), hai đỉnh còn lại phải dùng màu cũ thì \(D\) dùng màu đỏ, \(F\) dùng màu xanh nên số cách là \(3.1 = 3\)(cách)
Nếu đỉnh \(D\) tô màu mới thì có \(3\) cách chọn màu mới cho \(D\), hai đỉnh còn lại phải dùng màu cũ thì \(B\) dùng màu vàng, \(F\) dùng màu xanh nên số cách là \(3.1 = 3\)(cách)
Nếu đỉnh \(F\) tô màu mới thì có \(3\) cách chọn màu mới cho \(F\), hai đỉnh còn lại phải dùng màu cũ thì \(B\) dùng màu vàng, \(D\) dùng màu đỏ nên số cách là \(3.1 = 3\)(cách)
Vậy tổng số cách trong trường hợp này là: \(3 + 3 + 3 = 9\) cách
Trường hợp 4: Dùng cả ba màu cũ chỉ có 1 cách duy nhất là \(B\) tô màu vàng, \(D\) tô màu đỏ, \(F\) tô màu xanh
Suy ra số cách tô màu hợp lệ cho bộ ba \(\left( {B,D,F} \right)\) là \(6 + 18 + 9 + 1 = 34\)(cách)
Vậy số cách tô màu thỏa mãn yêu cầu bài toán là \(120.34 = 4080\)(cách)
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
Các sản phẩm khác của Vietjack:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1
a) Điều kiện xác định của \(x\) là \(0 < x < 3\sqrt 2 \)
Đúng
Sai
b) Diện tích vải xung quanh của lều được tính bằng \({S_{xq}} = 12x - {x^2}\)
Đúng
Sai
c) Thể tích của không gian bên trong lều tính là \(V\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{3}\sqrt {36 - 6x} \)
Đúng
Sai
d) Khi thể tích của lều đạt giá trị lớn nhất thì \(\tan \)của góc tạo bởi mặt bên và mặt đáy bằng \(\frac{{\sqrt 5 }}{2}\)
Đúng
Sai
Lời giải
Xét mệnh đề a)
Đặt \(DK = TB = a\)và \(MN = NP = PQ = QM = x\) khi đó: \(a + x + a = 12 \Rightarrow 2a = 12 - x\)
Mặt khác: \(2a > x \Leftrightarrow 12 - x > x \Rightarrow 0 < x < 6\) nên mệnh đề a) sai
Xét mệnh đề b)
Diện tích hình vuông cạnh \(x\,:\,{S_{HV}} = {x^2}\)
Diện tích tam giác có cạnh đáy là \(x\)và chiều cao là
Diện tích vải xung quanh của liều là:
nên mệnh đề b) sai
Xét mệnh đề c)
Xét hình 2 ta có, chiều cao của lều: \(SO = \sqrt {S{K^2} - O{K^2}} = \sqrt {{a^2} - {{\left( {\frac{x}{2}} \right)}^2}} = \sqrt {{{\left( {\frac{{12 - x}}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{x}{2}} \right)}^2}} \).
Thể tích lều là : \(V\left( x \right) = \frac{1}{3}.{x^2}.\sqrt {{{\left( {\frac{{12 - x}}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{x}{2}} \right)}^2}} = \frac{1}{3}.{x^2}.\sqrt {36 - 6x + \frac{{{x^2}}}{4} - \frac{{{x^2}}}{4}} = \frac{{{x^2}}}{3}.\sqrt {36 - 6x} \)
nên mệnh đề c) đúng
Xét mệnh đề d)
Thể tích: \(V\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{3}.\sqrt {36 - 6x} \Rightarrow V'\left( x \right) = \frac{{x\left( {24 - 5x} \right)}}{{\sqrt {36 - 6x} }} = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0\left( {loai} \right)}\\{x = \frac{{24}}{5}\left( {nhan} \right)}\end{array}} \right.\)
Bảng biến thiên:
Khi đó: nên mệnh đề d) đúng
Đặt \(DK = TB = a\)và \(MN = NP = PQ = QM = x\) khi đó: \(a + x + a = 12 \Rightarrow 2a = 12 - x\)
Mặt khác: \(2a > x \Leftrightarrow 12 - x > x \Rightarrow 0 < x < 6\) nên mệnh đề a) sai
Xét mệnh đề b)
Diện tích hình vuông cạnh \(x\,:\,{S_{HV}} = {x^2}\)
Diện tích tam giác có cạnh đáy là \(x\)và chiều cao là
Diện tích vải xung quanh của liều là:
nên mệnh đề b) sai
Xét mệnh đề c)
Xét hình 2 ta có, chiều cao của lều: \(SO = \sqrt {S{K^2} - O{K^2}} = \sqrt {{a^2} - {{\left( {\frac{x}{2}} \right)}^2}} = \sqrt {{{\left( {\frac{{12 - x}}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{x}{2}} \right)}^2}} \).
Thể tích lều là : \(V\left( x \right) = \frac{1}{3}.{x^2}.\sqrt {{{\left( {\frac{{12 - x}}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{x}{2}} \right)}^2}} = \frac{1}{3}.{x^2}.\sqrt {36 - 6x + \frac{{{x^2}}}{4} - \frac{{{x^2}}}{4}} = \frac{{{x^2}}}{3}.\sqrt {36 - 6x} \)
nên mệnh đề c) đúng
Xét mệnh đề d)
Thể tích: \(V\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{3}.\sqrt {36 - 6x} \Rightarrow V'\left( x \right) = \frac{{x\left( {24 - 5x} \right)}}{{\sqrt {36 - 6x} }} = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0\left( {loai} \right)}\\{x = \frac{{24}}{5}\left( {nhan} \right)}\end{array}} \right.\)
Bảng biến thiên:
Khi đó: nên mệnh đề d) đúng
Câu 2
a) Cường độ mưa lớn nhất trong suốt trận mưa này đạt \(6\)mm/giờ
Đúng
Sai
b) Tổng lượng mưa của cả trận mưa là \(12,5\)mm
Đúng
Sai
c) Thể tích nước mưa thực tế thu được trong dụng cụ đo sau \(4\) giờ là \(160\pi \)(cm3)
Đúng
Sai
d) Kết thúc trận mưa, mực nước trong dụng cụ đo dân lên đến chiều cao \(163\)mm (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)
Đúng
Sai
Lời giải
Xét mệnh đề a)
Xét hàm số \(v\left( t \right) = - 1,5{t^2} + 6t\)có đồ thì là parabol bề lõm quay xuống, đạt cực đại tại \(t = 2\)
Suy ra \({v_{\max }}\left( 2 \right) = 6\)(mm/giờ) nên mệnh đề a) đúng
Xét mệnh đề b)
Gọi \(h\)(mm) là tổng lượng mưa của cả trận: \[h = \int\limits_0^4 {\left( { - 1,5{t^2} + 6t} \right)} \,{\rm{d}}t = 16\](mm) nên mệnh đề b) sai
Xét mệnh đề c)
Dụng cụ đo có miệng hình tròn bán kính \(R = 100\)mm\( = 10\)(cm).
Lượng mưa \[h = 16\]mm\( = 1,6\)m là độ cao nước rơi xuống trên một đơn vị diện tích bề mặt ngang. Thể tích nước thu được trong phễu chính bằng diện tích miệng phễu nhân với chiều cao lượng mưa: \(V = \pi {.10^2}.1,6 = 160\pi \)(cm3) nên mệnh đề c) đúng
Xét mệnh đề d)
Gọi \({h_x}\) là chiều cao, \(r\) là bán kính tương ứng thì theo định lý Ta let: \(\frac{r}{R} = \frac{{{h_x}}}{h} \Rightarrow r = \frac{{R{h_x}}}{h}\)
Thể tích nước trong phiễu theo \({h_x}\): \(V = \frac{1}{3}.\pi .{r^2}.{h_x} = \frac{1}{3}.\pi .{\left( {\frac{{100{h_x}}}{{300}}} \right)^2}.{h_x} = 160\pi \Rightarrow {h_x} \approx 163\)(mm)
nên mệnh đề d) đúng
Xét hàm số \(v\left( t \right) = - 1,5{t^2} + 6t\)có đồ thì là parabol bề lõm quay xuống, đạt cực đại tại \(t = 2\)
Suy ra \({v_{\max }}\left( 2 \right) = 6\)(mm/giờ) nên mệnh đề a) đúng
Xét mệnh đề b)
Gọi \(h\)(mm) là tổng lượng mưa của cả trận: \[h = \int\limits_0^4 {\left( { - 1,5{t^2} + 6t} \right)} \,{\rm{d}}t = 16\](mm) nên mệnh đề b) sai
Xét mệnh đề c)
Dụng cụ đo có miệng hình tròn bán kính \(R = 100\)mm\( = 10\)(cm).
Lượng mưa \[h = 16\]mm\( = 1,6\)m là độ cao nước rơi xuống trên một đơn vị diện tích bề mặt ngang. Thể tích nước thu được trong phễu chính bằng diện tích miệng phễu nhân với chiều cao lượng mưa: \(V = \pi {.10^2}.1,6 = 160\pi \)(cm3) nên mệnh đề c) đúng
Xét mệnh đề d)
Gọi \({h_x}\) là chiều cao, \(r\) là bán kính tương ứng thì theo định lý Ta let: \(\frac{r}{R} = \frac{{{h_x}}}{h} \Rightarrow r = \frac{{R{h_x}}}{h}\)
Thể tích nước trong phiễu theo \({h_x}\): \(V = \frac{1}{3}.\pi .{r^2}.{h_x} = \frac{1}{3}.\pi .{\left( {\frac{{100{h_x}}}{{300}}} \right)^2}.{h_x} = 160\pi \Rightarrow {h_x} \approx 163\)(mm)
nên mệnh đề d) đúng
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 4
a) Xác suất để thu được kết quả dương tính bằng \(0,07\)
Đúng
Sai
b) Biết rằng kết quả dương tính thu được thì xác suất để cá heo này thực sự mắc bệnh bằng \(\frac{{45}}{{67}}\)
Đúng
Sai
c) Cá heo khi xét nghiệm đã cho kết quả dương tính lần đầu, xác suất để khi xét nghiệm lần tiếp theo vẫn cho kết quả dương tính bằng \(0,69\)(làm tròn đến hàng phần trăm)
Đúng
Sai
d) Biết rằng kết quả xét nghiệm cả hai lần là dương tính thì xác suất để cá heo này thực sự mắc bệnh bằng \(0,97\) (làm tròn đến hàng phần trăm)
Đúng
Sai
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập