Sân quần vợt được mô hình hóa lý tưởng, có chiều dài \(24\)m và chiều rộng \(10\)m. Các ô giao bóng dài \(6\)m, rộng \(5\)m và chiều cao của lới là 1m. Giả sử, mọi cú đánh đều bay theo đường thẳng. Một vận động viên đứng ở vạch cuối sân tại điểm \(P\left( {3;24;0} \right)\) và đánh quả bóng với vận tốc \(144\) km/h ở độ cao \(3,1\)m sao cho bóng rơi đúng vào điểm \(T\left( {5;6;0} \right)\) của ô giao bóng. Sau khi chạm đất, bóng phản xạ theo góc \(\alpha \) (giữ nguyên vận tốc, không đổi hướng ngang) và tại vị trí \(K\) trên vạch cuối sân bên kia đối thủ sẽ đánh trả. Tính thời gian đối thủ có để phản ứng được tính từ lúc bóng nảy lên khỏi mặt saan đến khi bóng tới vị trí đánh theo đơn vị giây? (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)

Xét mệnh đề a)
Đặt \(DK = TB = a\)và \(MN = NP = PQ = QM = x\) khi đó: \(a + x + a = 12 \Rightarrow 2a = 12 - x\)
Mặt khác: \(2a > x \Leftrightarrow 12 - x > x \Rightarrow 0 < x < 6\) nên mệnh đề a) sai
Xét mệnh đề b)
Diện tích hình vuông cạnh \(x\,:\,{S_{HV}} = {x^2}\)
Diện tích tam giác có cạnh đáy là \(x\)và chiều cao là
Diện tích vải xung quanh của liều là:
nên mệnh đề b) sai
Xét mệnh đề c)
Xét hình 2 ta có, chiều cao của lều: \(SO = \sqrt {S{K^2} - O{K^2}} = \sqrt {{a^2} - {{\left( {\frac{x}{2}} \right)}^2}} = \sqrt {{{\left( {\frac{{12 - x}}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{x}{2}} \right)}^2}} \).
Thể tích lều là : \(V\left( x \right) = \frac{1}{3}.{x^2}.\sqrt {{{\left( {\frac{{12 - x}}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{x}{2}} \right)}^2}} = \frac{1}{3}.{x^2}.\sqrt {36 - 6x + \frac{{{x^2}}}{4} - \frac{{{x^2}}}{4}} = \frac{{{x^2}}}{3}.\sqrt {36 - 6x} \)
nên mệnh đề c) đúng
Xét mệnh đề d)
Thể tích: \(V\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{3}.\sqrt {36 - 6x} \Rightarrow V'\left( x \right) = \frac{{x\left( {24 - 5x} \right)}}{{\sqrt {36 - 6x} }} = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0\left( {loai} \right)}\\{x = \frac{{24}}{5}\left( {nhan} \right)}\end{array}} \right.\)
Bảng biến thiên:

Khi đó: $x=\mathrm{4,8}\Rightarrow \left\{\begin{array}{c}SK=ST=\mathrm{3,6}\\ SO=\frac{6\text{}\sqrt{5}}{5}\\ OK=OT=\mathrm{2,4}\end{array}\right.\Rightarrow \tan \alpha =\tan \widehat{STO}=\frac{SO}{OT}=\frac{\sqrt{5}}{2}$ nên mệnh đề d) đúng