Một chiếc lồng đèn gồm chiếc lồng bên ngoài được thiết kế có dạng hai hình nón giống hệt nhau lại chụm lại, bên trong là một lòng giấy màu xanh để thắp đèn (xem hình vẽ). Thiết diện cắt dọc của lồng đèn này đi qua đỉnh của hai nón và tâm của đáy chung là một hình thoi và lòng giấy màu xanh bên trong là một hình elip. Biết hình thoi này có cạnh bằng \[50\]cm và có diện tích là \(2400\)cm2. Người ta muốn thiết kế phần lòng giấy màu xanh sao cho diện tích hình elip là lớn nhất (lòng giấy màu xanh là khối tròn xoay khi quay hình elip quanh trục lớn của nó). Khi đó, phần lòng giấy màu xanh ấy có thể tích bằng bao nhiêu deximet khối?

           

Lời giải
Gọi \({d_1},{d_2}\) lần lượt là đường chéo lớn và đường chéo nhỏ của hình thoi \(\left( {0 < {d_2} < {d_1}} \right)\), khi đó ta có hệ phương trình sau: \[{\left( {\frac{{{d_1}}}{2}} \right)^2} + {\left( {\frac{{{d_2}}}{2}} \right)^2} = {50^2};\frac{{{d_1}}}{2}.\frac{{{d_2}}}{2} = 2400 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{d_1} = 40\\{d_2} = 30\end{array} \right.\].

Xét hệ trục tọa độ như hình trên (do tính đối xứng), do đó ta chỉ cần tìm diện tích lớn nhất của \(\frac{1}{4}\) hình elip ở góc phần tư thứ nhất.
Xét phương trình cạnh hình thoi ở góc phần tư thứ nhất là \(y = - \frac{3}{4}x + 30,0 \le x \le 4\) và phương trình elip ở góc phần tư thứ nhất là \(y = \sqrt {{b^2}\left( {1 - \frac{{{x^2}}}{{{a^2}}}} \right)} ,0 \le x \le \left| a \right|\)
Khi đó ta có đánh giá sau: \(\sqrt {{b^2}\left( {1 - \frac{{{x^2}}}{{{a^2}}}} \right)} \le - \frac{3}{4}x + 30 \Leftrightarrow {b^2}\left( {1 - \frac{{{x^2}}}{{{a^2}}}} \right) \le {\left( {30 - \frac{3}{4}x} \right)^2}\)
Bất phương trình tương đương với: \(\left( {\frac{9}{{16}} + \frac{{{b^2}}}{{{a^2}}}} \right){x^2} - 45x + 900 - {b^2} \ge 0\) \(\left( * \right)\)
\(\left( * \right)\) luôn đúng khi và chỉ khi \[\Delta = {45^2} - 4\left( {\frac{9}{{16}} + \frac{{{b^2}}}{{{a^2}}}} \right)\left( {900 - {b^2}} \right) \le 0 \Leftrightarrow 14400 \ge 9{a^2} + 16{b^2}\]
Theo bất đẳng thức Cosi ta có: \[14400 \ge 9{a^2} + 16{b^2} \ge 24ab \Leftrightarrow ab \le 600 \Rightarrow {S_{\left( E \right)}} \le 600\pi \]
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}9{a^2} = 16{b^2}\\9{a^2} + 16{b^2} = 14400\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} = 800\\{b^2} = 450\end{array} \right. \Rightarrow \left( {E} \right):y = \sqrt {450\left( {1 - \frac{{{x^2}}}{{800}}} \right)} \)
Vậy thể tích cần tìm là \[V = \pi {\int\limits_{ - 20\sqrt 2 }^{20\sqrt 2 } {\left( {\sqrt {450\left( {1 - \frac{{{x^2}}}{{800}}} \right)} } \right)} ^2}{\rm{d}}x \approx 53,3\](dm³)