Một chiếc lồng đèn gồm chiếc lồng bên ngoài được thiết kế có dạng hai hình nón giống hệt nhau lại chụm lại, bên trong là một lòng giấy màu xanh để thắp đèn (xem hình vẽ). Thiết diện cắt dọc của lồng đèn này đi qua đỉnh của hai nón và tâm của đáy chung là một hình thoi và lòng giấy màu xanh bên trong là một hình elip. Biết hình thoi này có cạnh bằng \[50\]cm và có diện tích là \(2400\)cm2. Người ta muốn thiết kế phần lòng giấy màu xanh sao cho diện tích hình elip là lớn nhất (lòng giấy màu xanh là khối tròn xoay khi quay hình elip quanh trục lớn của nó). Khi đó, phần lòng giấy màu xanh ấy có thể tích bằng bao nhiêu deximet khối?
Câu hỏi trong đề: Đề ôn thi Tốt nghiệp THPT Toán có đáp án - Đề số 8 !!
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Đáp án:
53,3
Lời giải
Gọi \({d_1},{d_2}\) lần lượt là đường chéo lớn và đường chéo nhỏ của hình thoi \(\left( {0 < {d_2} < {d_1}} \right)\), khi đó ta có hệ phương trình sau: \[{\left( {\frac{{{d_1}}}{2}} \right)^2} + {\left( {\frac{{{d_2}}}{2}} \right)^2} = {50^2};\frac{{{d_1}}}{2}.\frac{{{d_2}}}{2} = 2400 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{d_1} = 40\\{d_2} = 30\end{array} \right.\].
Xét hệ trục tọa độ như hình trên (do tính đối xứng), do đó ta chỉ cần tìm diện tích lớn nhất của \(\frac{1}{4}\) hình elip ở góc phần tư thứ nhất.
Xét phương trình cạnh hình thoi ở góc phần tư thứ nhất là \(y = - \frac{3}{4}x + 30,0 \le x \le 4\) và phương trình elip ở góc phần tư thứ nhất là \(y = \sqrt {{b^2}\left( {1 - \frac{{{x^2}}}{{{a^2}}}} \right)} ,0 \le x \le \left| a \right|\)
Khi đó ta có đánh giá sau: \(\sqrt {{b^2}\left( {1 - \frac{{{x^2}}}{{{a^2}}}} \right)} \le - \frac{3}{4}x + 30 \Leftrightarrow {b^2}\left( {1 - \frac{{{x^2}}}{{{a^2}}}} \right) \le {\left( {30 - \frac{3}{4}x} \right)^2}\)
Bất phương trình tương đương với: \(\left( {\frac{9}{{16}} + \frac{{{b^2}}}{{{a^2}}}} \right){x^2} - 45x + 900 - {b^2} \ge 0\) \(\left( * \right)\)
\(\left( * \right)\) luôn đúng khi và chỉ khi \[\Delta = {45^2} - 4\left( {\frac{9}{{16}} + \frac{{{b^2}}}{{{a^2}}}} \right)\left( {900 - {b^2}} \right) \le 0 \Leftrightarrow 14400 \ge 9{a^2} + 16{b^2}\]
Theo bất đẳng thức Cosi ta có: \[14400 \ge 9{a^2} + 16{b^2} \ge 24ab \Leftrightarrow ab \le 600 \Rightarrow {S_{\left( E \right)}} \le 600\pi \]
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}9{a^2} = 16{b^2}\\9{a^2} + 16{b^2} = 14400\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} = 800\\{b^2} = 450\end{array} \right. \Rightarrow \left( {E} \right):y = \sqrt {450\left( {1 - \frac{{{x^2}}}{{800}}} \right)} \)
Vậy thể tích cần tìm là \[V = \pi {\int\limits_{ - 20\sqrt 2 }^{20\sqrt 2 } {\left( {\sqrt {450\left( {1 - \frac{{{x^2}}}{{800}}} \right)} } \right)} ^2}{\rm{d}}x \approx 53,3\](dm3)
Gọi \({d_1},{d_2}\) lần lượt là đường chéo lớn và đường chéo nhỏ của hình thoi \(\left( {0 < {d_2} < {d_1}} \right)\), khi đó ta có hệ phương trình sau: \[{\left( {\frac{{{d_1}}}{2}} \right)^2} + {\left( {\frac{{{d_2}}}{2}} \right)^2} = {50^2};\frac{{{d_1}}}{2}.\frac{{{d_2}}}{2} = 2400 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{d_1} = 40\\{d_2} = 30\end{array} \right.\].
Xét hệ trục tọa độ như hình trên (do tính đối xứng), do đó ta chỉ cần tìm diện tích lớn nhất của \(\frac{1}{4}\) hình elip ở góc phần tư thứ nhất.
Xét phương trình cạnh hình thoi ở góc phần tư thứ nhất là \(y = - \frac{3}{4}x + 30,0 \le x \le 4\) và phương trình elip ở góc phần tư thứ nhất là \(y = \sqrt {{b^2}\left( {1 - \frac{{{x^2}}}{{{a^2}}}} \right)} ,0 \le x \le \left| a \right|\)
Khi đó ta có đánh giá sau: \(\sqrt {{b^2}\left( {1 - \frac{{{x^2}}}{{{a^2}}}} \right)} \le - \frac{3}{4}x + 30 \Leftrightarrow {b^2}\left( {1 - \frac{{{x^2}}}{{{a^2}}}} \right) \le {\left( {30 - \frac{3}{4}x} \right)^2}\)
Bất phương trình tương đương với: \(\left( {\frac{9}{{16}} + \frac{{{b^2}}}{{{a^2}}}} \right){x^2} - 45x + 900 - {b^2} \ge 0\) \(\left( * \right)\)
\(\left( * \right)\) luôn đúng khi và chỉ khi \[\Delta = {45^2} - 4\left( {\frac{9}{{16}} + \frac{{{b^2}}}{{{a^2}}}} \right)\left( {900 - {b^2}} \right) \le 0 \Leftrightarrow 14400 \ge 9{a^2} + 16{b^2}\]
Theo bất đẳng thức Cosi ta có: \[14400 \ge 9{a^2} + 16{b^2} \ge 24ab \Leftrightarrow ab \le 600 \Rightarrow {S_{\left( E \right)}} \le 600\pi \]
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}9{a^2} = 16{b^2}\\9{a^2} + 16{b^2} = 14400\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} = 800\\{b^2} = 450\end{array} \right. \Rightarrow \left( {E} \right):y = \sqrt {450\left( {1 - \frac{{{x^2}}}{{800}}} \right)} \)
Vậy thể tích cần tìm là \[V = \pi {\int\limits_{ - 20\sqrt 2 }^{20\sqrt 2 } {\left( {\sqrt {450\left( {1 - \frac{{{x^2}}}{{800}}} \right)} } \right)} ^2}{\rm{d}}x \approx 53,3\](dm3)
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
Các sản phẩm khác của Vietjack:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1
a) Xác suất để thu được kết quả dương tính bằng \(0,07\)
Đúng
Sai
b) Biết rằng kết quả dương tính thu được thì xác suất để cá heo này thực sự mắc bệnh bằng \(\frac{{45}}{{67}}\)
Đúng
Sai
c) Cá heo khi xét nghiệm đã cho kết quả dương tính lần đầu, xác suất để khi xét nghiệm lần tiếp theo vẫn cho kết quả dương tính bằng \(0,69\)(làm tròn đến hàng phần trăm)
Đúng
Sai
d) Biết rằng kết quả xét nghiệm cả hai lần là dương tính thì xác suất để cá heo này thực sự mắc bệnh bằng \(0,97\) (làm tròn đến hàng phần trăm)
Đúng
Sai
Lời giải
Xét mệnh đề a)
Gọi A là biến cố: “Cá heo thực sự mắc một bệnh nhất định” và \({B_i}\) là biến cố: “Xét nghiệm cá heo cho kết quả dương tính lần thứ i”; với \(i \in {\mathbb{N}^*}\).
Xác suất để có kết quả dương tính là \(P\left( {{B_1}} \right) = P\left( A \right).P\left( {{B_1}\mid A} \right) + P\left( {\bar A} \right).P\left( {{B_1}\mid \bar A} \right)\);
\(P\left( {{B_1}} \right) = 0,05.0,96 + 0,95.0,02 = 0,067\) nên mệnh đề a) sai
Xét mệnh đề b)
Ta có: \(P\left( {A|{B_1}} \right) = \frac{{P\left( {AB} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{0,05.0,96}}{{0,067}} = \frac{{48}}{{67}}\) nên mệnh đề b) sai
Xét mệnh đề c)
Ta có: \(P\left( {{B_2}|{B_1}} \right) = \frac{{P\left( {{B_1}{B_2}} \right)}}{{P\left( {{B_1}} \right)}} = \frac{{{{0,05.0,96}^2} + {{0,95.0,02}^2}}}{{0,067}} \approx 0,69\) nên mệnh đề c) đúng
Xét mệnh đề d)
Ta có: \(P\left( {A|{B_2}} \right) = \frac{{P\left( {A{B_2}} \right)}}{{P\left( {{B_2}} \right)}} = \frac{{{{0,05.0,96}^2}}}{{{{0,05.0,96}^2} + {{0,95.0,02}^2}}} = \frac{{2\,304}}{{2\,323}} \approx 0,99\) nên mệnh đề d) sai
Gọi A là biến cố: “Cá heo thực sự mắc một bệnh nhất định” và \({B_i}\) là biến cố: “Xét nghiệm cá heo cho kết quả dương tính lần thứ i”; với \(i \in {\mathbb{N}^*}\).
Xác suất để có kết quả dương tính là \(P\left( {{B_1}} \right) = P\left( A \right).P\left( {{B_1}\mid A} \right) + P\left( {\bar A} \right).P\left( {{B_1}\mid \bar A} \right)\);
\(P\left( {{B_1}} \right) = 0,05.0,96 + 0,95.0,02 = 0,067\) nên mệnh đề a) sai
Xét mệnh đề b)
Ta có: \(P\left( {A|{B_1}} \right) = \frac{{P\left( {AB} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{0,05.0,96}}{{0,067}} = \frac{{48}}{{67}}\) nên mệnh đề b) sai
Xét mệnh đề c)
Ta có: \(P\left( {{B_2}|{B_1}} \right) = \frac{{P\left( {{B_1}{B_2}} \right)}}{{P\left( {{B_1}} \right)}} = \frac{{{{0,05.0,96}^2} + {{0,95.0,02}^2}}}{{0,067}} \approx 0,69\) nên mệnh đề c) đúng
Xét mệnh đề d)
Ta có: \(P\left( {A|{B_2}} \right) = \frac{{P\left( {A{B_2}} \right)}}{{P\left( {{B_2}} \right)}} = \frac{{{{0,05.0,96}^2}}}{{{{0,05.0,96}^2} + {{0,95.0,02}^2}}} = \frac{{2\,304}}{{2\,323}} \approx 0,99\) nên mệnh đề d) sai
Lời giải
Đáp án:
8,66
Khi thử nghiệm chạy với vận tốc \(v = 20\)(km/h) trong thời gian \(t = 1\) giờ và hết \(L = 10\) lít,
Ta có: \(L = k.{v^2}.t \Rightarrow 10 = k{.20^2}.1 \Rightarrow k = \frac{{10}}{{{{20}^2}.1}} = \frac{1}{{40}}\)
Khi ca nô đi ngược dòng từ \(A\) đến \(B\) thì vận tốc thực của ca nô là: \({v_{nguoc}} = v - {v_{nuoc}} = v - 5\)(km/h)
Lượng xăng ca nô tiêu thụ khi đi ngược dòng là: \({L_1} = k.{v^2}.{t_{nguoc}} = \frac{1}{{40}}.{v^2}.\left( {\frac{{60}}{{v - 5}}} \right) = \frac{{1,5{v^2}}}{{v - 5}}\)
Khi ca nô đi xuôi dòng từ \(B\) về \(A\) thì vận tốc thực của ca nô là: \({v_{xuoi}} = v + {v_{nuoc}} = v + 5\)(km/h)
Lượng xăng ca nô tiêu thụ khi đi xuôi dòng là: \({L_2} = k.{v^2}.{t_{xuoi}} = \frac{1}{{40}}.{v^2}.\left( {\frac{{60}}{{v + 5}}} \right) = \frac{{1,5{v^2}}}{{v + 5}}\)
Hàm tổng lượng xăng tiêu thụ cho cả chuyến tuần tra là:
\[L\left( v \right) = {L_1} + {L_2} = \frac{{1,5{v^2}}}{{v - 5}} + \frac{{1,5{v^2}}}{{v + 5}} = 1,5{v^2}\left( {\frac{{2v}}{{{v^2} - 25}}} \right)\]
Xét hàm số \(L\left( v \right) = \frac{{3{v^3}}}{{{v^2} - 25}}\)với \(v \in \left( {5;\, + \infty } \right)\) có \[L'\left( v \right) = \frac{{3{v^2}\left( {{v^2} - 75} \right)}}{{{{\left( {{v^2} - 25} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow v = 5\sqrt 3 \in \left( {5;\, + \infty } \right)\]
Vậy người lái ca nô vẫn cần cài đặt tốc độ động cơ là \(v = 5\sqrt 3 \approx 8,66\)(km/h)
Ta có: \(L = k.{v^2}.t \Rightarrow 10 = k{.20^2}.1 \Rightarrow k = \frac{{10}}{{{{20}^2}.1}} = \frac{1}{{40}}\)
Khi ca nô đi ngược dòng từ \(A\) đến \(B\) thì vận tốc thực của ca nô là: \({v_{nguoc}} = v - {v_{nuoc}} = v - 5\)(km/h)
Lượng xăng ca nô tiêu thụ khi đi ngược dòng là: \({L_1} = k.{v^2}.{t_{nguoc}} = \frac{1}{{40}}.{v^2}.\left( {\frac{{60}}{{v - 5}}} \right) = \frac{{1,5{v^2}}}{{v - 5}}\)
Khi ca nô đi xuôi dòng từ \(B\) về \(A\) thì vận tốc thực của ca nô là: \({v_{xuoi}} = v + {v_{nuoc}} = v + 5\)(km/h)
Lượng xăng ca nô tiêu thụ khi đi xuôi dòng là: \({L_2} = k.{v^2}.{t_{xuoi}} = \frac{1}{{40}}.{v^2}.\left( {\frac{{60}}{{v + 5}}} \right) = \frac{{1,5{v^2}}}{{v + 5}}\)
Hàm tổng lượng xăng tiêu thụ cho cả chuyến tuần tra là:
\[L\left( v \right) = {L_1} + {L_2} = \frac{{1,5{v^2}}}{{v - 5}} + \frac{{1,5{v^2}}}{{v + 5}} = 1,5{v^2}\left( {\frac{{2v}}{{{v^2} - 25}}} \right)\]
Xét hàm số \(L\left( v \right) = \frac{{3{v^3}}}{{{v^2} - 25}}\)với \(v \in \left( {5;\, + \infty } \right)\) có \[L'\left( v \right) = \frac{{3{v^2}\left( {{v^2} - 75} \right)}}{{{{\left( {{v^2} - 25} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow v = 5\sqrt 3 \in \left( {5;\, + \infty } \right)\]
Vậy người lái ca nô vẫn cần cài đặt tốc độ động cơ là \(v = 5\sqrt 3 \approx 8,66\)(km/h)
Câu 3
a) Cường độ mưa lớn nhất trong suốt trận mưa này đạt \(6\)mm/giờ
Đúng
Sai
b) Tổng lượng mưa của cả trận mưa là \(12,5\)mm
Đúng
Sai
c) Thể tích nước mưa thực tế thu được trong dụng cụ đo sau \(4\) giờ là \(160\pi \)(cm3)
Đúng
Sai
d) Kết thúc trận mưa, mực nước trong dụng cụ đo dân lên đến chiều cao \(163\)mm (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)
Đúng
Sai
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 4
a) Điều kiện xác định của \(x\) là \(0 < x < 3\sqrt 2 \)
Đúng
Sai
b) Diện tích vải xung quanh của lều được tính bằng \({S_{xq}} = 12x - {x^2}\)
Đúng
Sai
c) Thể tích của không gian bên trong lều tính là \(V\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{3}\sqrt {36 - 6x} \)
Đúng
Sai
d) Khi thể tích của lều đạt giá trị lớn nhất thì \(\tan \)của góc tạo bởi mặt bên và mặt đáy bằng \(\frac{{\sqrt 5 }}{2}\)
Đúng
Sai
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập