Một chiếc lồng đèn gồm chiếc lồng bên ngoài được thiết kế có dạng hai hình nón giống hệt nhau lại chụm lại, bên trong là một lòng giấy màu xanh để thắp đèn (xem hình vẽ). Thiết diện cắt dọc của lồng đèn này đi qua đỉnh của hai nón và tâm của đáy chung là một hình thoi và lòng giấy màu xanh bên trong là một hình elip. Biết hình thoi này có cạnh bằng \[50\]cm và có diện tích là \(2400\)cm2. Người ta muốn thiết kế phần lòng giấy màu xanh sao cho diện tích hình elip là lớn nhất (lòng giấy màu xanh là khối tròn xoay khi quay hình elip quanh trục lớn của nó). Khi đó, phần lòng giấy màu xanh ấy có thể tích bằng bao nhiêu deximet khối?
Câu hỏi trong đề: 24 Đề ôn thi Tốt nghiệp THPT Toán (về đích) năm 2026 !!
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Đáp án:
Gọi \({d_1},{d_2}\) lần lượt là đường chéo lớn và đường chéo nhỏ của hình thoi \(\left( {0 < {d_2} < {d_1}} \right)\), khi đó ta có hệ phương trình sau: \[{\left( {\frac{{{d_1}}}{2}} \right)^2} + {\left( {\frac{{{d_2}}}{2}} \right)^2} = {50^2};\frac{{{d_1}}}{2}.\frac{{{d_2}}}{2} = 2400 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{d_1} = 40\\{d_2} = 30\end{array} \right.\].
Xét hệ trục tọa độ như hình trên (do tính đối xứng), do đó ta chỉ cần tìm diện tích lớn nhất của \(\frac{1}{4}\) hình elip ở góc phần tư thứ nhất.
Xét phương trình cạnh hình thoi ở góc phần tư thứ nhất là \(y = - \frac{3}{4}x + 30,0 \le x \le 4\) và phương trình elip ở góc phần tư thứ nhất là \(y = \sqrt {{b^2}\left( {1 - \frac{{{x^2}}}{{{a^2}}}} \right)} ,0 \le x \le \left| a \right|\)
Khi đó ta có đánh giá sau: \(\sqrt {{b^2}\left( {1 - \frac{{{x^2}}}{{{a^2}}}} \right)} \le - \frac{3}{4}x + 30 \Leftrightarrow {b^2}\left( {1 - \frac{{{x^2}}}{{{a^2}}}} \right) \le {\left( {30 - \frac{3}{4}x} \right)^2}\)
Bất phương trình tương đương với: \(\left( {\frac{9}{{16}} + \frac{{{b^2}}}{{{a^2}}}} \right){x^2} - 45x + 900 - {b^2} \ge 0\) \(\left( * \right)\)
\(\left( * \right)\) luôn đúng khi và chỉ khi \[\Delta = {45^2} - 4\left( {\frac{9}{{16}} + \frac{{{b^2}}}{{{a^2}}}} \right)\left( {900 - {b^2}} \right) \le 0 \Leftrightarrow 14400 \ge 9{a^2} + 16{b^2}\]
Theo bất đẳng thức Cosi ta có: \[14400 \ge 9{a^2} + 16{b^2} \ge 24ab \Leftrightarrow ab \le 600 \Rightarrow {S_{\left( E \right)}} \le 600\pi \]
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}9{a^2} = 16{b^2}\\9{a^2} + 16{b^2} = 14400\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} = 800\\{b^2} = 450\end{array} \right. \Rightarrow \left( {E} \right):y = \sqrt {450\left( {1 - \frac{{{x^2}}}{{800}}} \right)} \)
Vậy thể tích cần tìm là \[V = \pi {\int\limits_{ - 20\sqrt 2 }^{20\sqrt 2 } {\left( {\sqrt {450\left( {1 - \frac{{{x^2}}}{{800}}} \right)} } \right)} ^2}{\rm{d}}x \approx 53,3\](dm3)
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Đang tải chế độ Học...
Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay
Đăng ký VIP để học và luyện thi không giới hạn
Trọn bộ quyền lợi trên Vietjack, trong một tài khoản.
- Phòng luyện thi cấp tốc: ĐGNL - ĐGTD, Tốt nghiệp THPT, Ôn vào 10, Ôn vào 6, Ôn Giữa kì/Cuối kì
- Hơn 200K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
- Với 3tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
- Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
- Xem hàng ngàn bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
- Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
- Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện
- Đăng ký ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Đáp án:
Ta có: \(L = k.{v^2}.t \Rightarrow 10 = k{.20^2}.1 \Rightarrow k = \frac{{10}}{{{{20}^2}.1}} = \frac{1}{{40}}\)
Khi ca nô đi ngược dòng từ \(A\) đến \(B\) thì vận tốc thực của ca nô là: \({v_{nguoc}} = v - {v_{nuoc}} = v - 5\)(km/h)
Lượng xăng ca nô tiêu thụ khi đi ngược dòng là: \({L_1} = k.{v^2}.{t_{nguoc}} = \frac{1}{{40}}.{v^2}.\left( {\frac{{60}}{{v - 5}}} \right) = \frac{{1,5{v^2}}}{{v - 5}}\)
Khi ca nô đi xuôi dòng từ \(B\) về \(A\) thì vận tốc thực của ca nô là: \({v_{xuoi}} = v + {v_{nuoc}} = v + 5\)(km/h)
Lượng xăng ca nô tiêu thụ khi đi xuôi dòng là: \({L_2} = k.{v^2}.{t_{xuoi}} = \frac{1}{{40}}.{v^2}.\left( {\frac{{60}}{{v + 5}}} \right) = \frac{{1,5{v^2}}}{{v + 5}}\)
Hàm tổng lượng xăng tiêu thụ cho cả chuyến tuần tra là:
\[L\left( v \right) = {L_1} + {L_2} = \frac{{1,5{v^2}}}{{v - 5}} + \frac{{1,5{v^2}}}{{v + 5}} = 1,5{v^2}\left( {\frac{{2v}}{{{v^2} - 25}}} \right)\]
Xét hàm số \(L\left( v \right) = \frac{{3{v^3}}}{{{v^2} - 25}}\)với \(v \in \left( {5;\, + \infty } \right)\) có \[L'\left( v \right) = \frac{{3{v^2}\left( {{v^2} - 75} \right)}}{{{{\left( {{v^2} - 25} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow v = 5\sqrt 3 \in \left( {5;\, + \infty } \right)\]
Vậy người lái ca nô vẫn cần cài đặt tốc độ động cơ là \(v = 5\sqrt 3 \approx 8,66\)(km/h)
Câu 2
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Đặt \(DK = TB = a\)và \(MN = NP = PQ = QM = x\) khi đó: \(a + x + a = 12 \Rightarrow 2a = 12 - x\)
Mặt khác: \(2a > x \Leftrightarrow 12 - x > x \Rightarrow 0 < x < 6\) nên mệnh đề a) sai
Xét mệnh đề b)
Diện tích hình vuông cạnh \(x\,:\,{S_{HV}} = {x^2}\)
Diện tích tam giác có cạnh đáy là \(x\)và chiều cao là
Diện tích vải xung quanh của liều là:
nên mệnh đề b) sai
Xét mệnh đề c)
Xét hình 2 ta có, chiều cao của lều: \(SO = \sqrt {S{K^2} - O{K^2}} = \sqrt {{a^2} - {{\left( {\frac{x}{2}} \right)}^2}} = \sqrt {{{\left( {\frac{{12 - x}}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{x}{2}} \right)}^2}} \).
Thể tích lều là : \(V\left( x \right) = \frac{1}{3}.{x^2}.\sqrt {{{\left( {\frac{{12 - x}}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{x}{2}} \right)}^2}} = \frac{1}{3}.{x^2}.\sqrt {36 - 6x + \frac{{{x^2}}}{4} - \frac{{{x^2}}}{4}} = \frac{{{x^2}}}{3}.\sqrt {36 - 6x} \)
nên mệnh đề c) đúng
Xét mệnh đề d)
Thể tích: \(V\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{3}.\sqrt {36 - 6x} \Rightarrow V'\left( x \right) = \frac{{x\left( {24 - 5x} \right)}}{{\sqrt {36 - 6x} }} = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0\left( {loai} \right)}\\{x = \frac{{24}}{5}\left( {nhan} \right)}\end{array}} \right.\)
Bảng biến thiên:
Khi đó: nên mệnh đề d) đúng
Câu 3
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 4
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng ký để học cùng Vietjack. Hoàn toàn miễn phí!
Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập