Một công ty tham gia đấu thầu 2 dự án. Khả năng thắng thầu dự án 1 là 60% và dự án 2 là 50%. Khả năng thắng thầu cả hai dự án là 40%. Gọi \(A\) và \(B\) lần lượt là biến cố công ty thắng thầu dự án 1 và dự án 2.

Theo giả thiết, \(x \in \left( {0;10} \right]\).

Khi đó lợi nhuận của siêu thị được xác định bởi :

\({L_1}\left( x \right) = x\left( {150 - x} \right) - \left( {{x^2} + 10x + 100} \right) - mx =  - 2{x^2} + \left( {140 - m} \right)x - 100\)

Với \(x\left( {150 - x} \right)\) là doanh thu tính cho \(x\) sản phẩm, \({x^2} + 10x + 100\) là chi phí tính cho \(x\) sản phẩm và \(mx\) là chi phí nhập hàng tính cho \(x\) sản phẩm.

Khảo sát hàm số: \({L_1}^\prime \left( x \right) =  - 4x + 140 - m = 0 \Rightarrow x = \frac{{140 - m}}{4}\) với \(x \in \left( {0;10} \right]\).

Mặt khác, lợi nhuận của nông trại được xác định bởi :

\({L_2}\left( m \right) = mx - 20x = x\left( {m - 20} \right) = \left( {\frac{{140 - m}}{4}} \right)\left( {m - 20} \right)\)

Với \(mx\) là doanh thu của nông trại tính cho \(x\) sản phẩm và \(20x\) là chi phí gốc để trồng và thu hoạch dâu tây tính cho \(x\) sản phẩm.

Khảo sát hàm số ta được \(m = 80 \Rightarrow x = 15 \notin \left( {0;10} \right]\).

Với \(x = 10 \Rightarrow m = 100 \Rightarrow L\left( m \right) = 800\) (triệu đồng)

Vậy với \(m = 100\) triệu đồng/tạ thì nông trại đạt lợi nhuận lớn nhất.

Gọi \(A\) là biến cố : cuộn thép ấy bị lỗi \( \Rightarrow P\left( A \right) = 10\%  = 0,1 \Rightarrow P\left( {\overline A } \right) = 1 - 0,1 = 0,9\).

Gọi \({S_1},{S_2}\) lần lượt là biến cố: Cảm biến 1 báo lỗi và cảm biến 2 báo lỗi.

Gọi \(B\) là biến cố: Cuộn thép ấy bị loại

Do đó: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{P\left( {{S_1}|A} \right) = 0,9}\\{P\left( {{S_2}|A} \right) = 0,8\,}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{P\left( {{S_1}|\overline A } \right) = 0,1\,\,}\\{P\left( {{S_2}|\overline A } \right) = 0,05}\end{array}} \right.\).

Vì \({S_1},{S_2}\) độc lập với điều kiện \(L\) nên xác suất để cuộn thép bị loại trong điều kiện nó bị lỗi là:
\(P\left( {B|A} \right) = P\left( {{S_1}|A} \right).P\left( {{S_2}|A} \right) = 0,9.0,8 = 0,72\)

Từ đó, xác suất để cuộn thép bị loại trong điều kiện nó không bị lỗi là :

\(P\left( {B|\overline A } \right) = P\left( {{S_1}|\overline A } \right).P\left( {{S_2}|\overline A } \right) = 0,1.0,05 = 0,005\)

Xác suất cuộn thép ấy bị loại:

\(P\left( B \right) = P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) + P\left( A \right).P\left( {B|\overline A } \right) = 0,1.0,72 + 0,9.0,05 = 0,0765\)

Theo định lý Bayes, ta được:

\(P\left( {\overline A |B} \right) = \frac{{P\left( {\overline A } \right).P\left( {B|\overline A } \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{0,9.0,005}}{{0,0765}} \approx 0,06\)