Một nhà máy sản xuất thép HRC sử dụng hệ thống kiểm định chất lượng lỗi gồm hai cảm biến \({S_1}\) và \({S_2}\) hoạt động độc lập, tỷ lệ thép thực tế bị lỗi là \(10\% \). Quy trình loại bỏ phế phẩm được thực hiện như sau: Thép đi qua \({S_1}\), nếu \({S_1}\) báo lỗi thì tiếp tục đưa qua \({S_2}\). Thép chỉ bị loại nếu cả hai cảm biến đều báo lỗi. Độ chính xác của hệ thống được thống kê như sau: Với thép thực sự bị lỗi thì xác suất báo lỗi của \({S_1}\) và \({S_2}\) lần lượt là \(90\% \) và \(80\% \); với thép không bị lỗi thì xác suất báo lỗi của \({S_1}\) và \({S_2}\) lần lượt là \(10\% \) và \(5\% \). Chọn ngẫu nhiên một cuộn thép đã bị loại. Tính xác suất để cuộn thép đó thực chất không bị lỗi (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)

Xét mệnh đề a)

Ta có \[P\left( A \right) = 0,6 \Rightarrow P\left( {\bar A} \right) = 0,4;\,\,P\left( B \right) = 0,5 \Rightarrow P\left( {\bar B} \right) = 0,5\] và \[P\left( {AB} \right) = 0,4\]

Vì \[P\left( {AB} \right) \ne P\left( A \right).P\left( B \right)\] nên \[A,B\] không độc lập nên mệnh đề a) sai

Xét mệnh đề b)

Do \(A\overline B \) và \(\overline A B\) là hai biến cố xung khắc nên xác suất công ty thắng thầu đúng 1 dự án là:

\[P\left( {A\bar B} \right) + P\left( {\bar AB} \right) = P\left( A \right) - P\left( {AB} \right) + P\left( B \right) - P\left( {AB} \right) = 0,6 - 0,4 + 0,5 - 0,4 = 0,3\] nên mệnh đề b) đúng

Xét mệnh đề c)

Xác suất công ty thắng thầu dự án 2 biết công ty đã thắng thầu dự án 1 là:

\[P\left( {B|A} \right) = \frac{{P\left( {BA} \right)}}{{P\left( A \right)}} = \frac{{0,4}}{{0,6}} = \frac{2}{3}\] nên mệnh đề c) sai

Xét mệnh đề d)

Xác suất công ty thắng thầu dự án 2, biết công ty đã không thắng thầu dự án 1 là:

\[P\left( {B|\bar A} \right) = \frac{{P\left( {B\bar A} \right)}}{{P\left( {\bar A} \right)}} = \frac{{P\left( B \right) - P\left( {AB} \right)}}{{P\left( {\bar A} \right)}} = \frac{{0,5 - 0,4}}{{0,4}} = 0,25\]

Vậy xác suất công ty không thắng thầu dự án 2, biết công ty đã không thắng thầu dự án 1 là

\(P\left( {\overline B \left| {\overline A } \right.} \right) = 1 - P\left( {B\left| {\overline A } \right.} \right) = 1 - 0,25 = 0,75\) nên mệnh đề d) sai

Theo giả thiết, \(x \in \left( {0;10} \right]\).

Khi đó lợi nhuận của siêu thị được xác định bởi :

\({L_1}\left( x \right) = x\left( {150 - x} \right) - \left( {{x^2} + 10x + 100} \right) - mx =  - 2{x^2} + \left( {140 - m} \right)x - 100\)

Với \(x\left( {150 - x} \right)\) là doanh thu tính cho \(x\) sản phẩm, \({x^2} + 10x + 100\) là chi phí tính cho \(x\) sản phẩm và \(mx\) là chi phí nhập hàng tính cho \(x\) sản phẩm.

Khảo sát hàm số: \({L_1}^\prime \left( x \right) =  - 4x + 140 - m = 0 \Rightarrow x = \frac{{140 - m}}{4}\) với \(x \in \left( {0;10} \right]\).

Mặt khác, lợi nhuận của nông trại được xác định bởi :

\({L_2}\left( m \right) = mx - 20x = x\left( {m - 20} \right) = \left( {\frac{{140 - m}}{4}} \right)\left( {m - 20} \right)\)

Với \(mx\) là doanh thu của nông trại tính cho \(x\) sản phẩm và \(20x\) là chi phí gốc để trồng và thu hoạch dâu tây tính cho \(x\) sản phẩm.

Khảo sát hàm số ta được \(m = 80 \Rightarrow x = 15 \notin \left( {0;10} \right]\).

Với \(x = 10 \Rightarrow m = 100 \Rightarrow L\left( m \right) = 800\) (triệu đồng)

Vậy với \(m = 100\) triệu đồng/tạ thì nông trại đạt lợi nhuận lớn nhất.