Một nông trại cung cấp độc quyền dâu tây cho một chuỗi siêu thị. Do giới hạn về hệ thống tủ mát trưng bày chuyên dụng, siêu thị chỉ có thể nhập và bán tối đa \(1\) tấn dâu tây mỗi ngày. Gọi \(x\) là số tạ dâu tây siêu thị bán ra mỗi ngày. Đơn giá bán lẻ của siêu thị theo hàm cầu \(p\left( x \right) = 150 - x\) (triệu đồng/tạ). Chi phí vận hành, đóng gói của siêu thị (chưa tính tiền nhập hàng) được biểu thị bằng hàm số \({C_v}\left( x \right) = {x^2} + 10x + 100\) (triệu đồng). Biết chi phí gốc để trồng và thu hoạch một tạ dâu tây của nông trại là \(20\) triệu đồng. Quá trình định giá diễn ra như sau:

-         Nông trại ấn định giá bán buôn \(m\) (triệu đồng/tạ) để tối đa hóa lợi nhuận của nông trại

-         Dựa vào mức giá \(m\) này, siêu thị quyết định số lượng nhập \(x\)(tạ) để tối đa hóa lợi nhuận của siêu thị.

Hỏi nông trại phải chào giá bán buôn \(m\) bằng bao nhiêu để thu được lợi nhuận cao nhất?

Xét mệnh đề a)

Ta có \[P\left( A \right) = 0,6 \Rightarrow P\left( {\bar A} \right) = 0,4;\,\,P\left( B \right) = 0,5 \Rightarrow P\left( {\bar B} \right) = 0,5\] và \[P\left( {AB} \right) = 0,4\]

Vì \[P\left( {AB} \right) \ne P\left( A \right).P\left( B \right)\] nên \[A,B\] không độc lập nên mệnh đề a) sai

Xét mệnh đề b)

Do \(A\overline B \) và \(\overline A B\) là hai biến cố xung khắc nên xác suất công ty thắng thầu đúng 1 dự án là:

\[P\left( {A\bar B} \right) + P\left( {\bar AB} \right) = P\left( A \right) - P\left( {AB} \right) + P\left( B \right) - P\left( {AB} \right) = 0,6 - 0,4 + 0,5 - 0,4 = 0,3\] nên mệnh đề b) đúng

Xét mệnh đề c)

Xác suất công ty thắng thầu dự án 2 biết công ty đã thắng thầu dự án 1 là:

\[P\left( {B|A} \right) = \frac{{P\left( {BA} \right)}}{{P\left( A \right)}} = \frac{{0,4}}{{0,6}} = \frac{2}{3}\] nên mệnh đề c) sai

Xét mệnh đề d)

Xác suất công ty thắng thầu dự án 2, biết công ty đã không thắng thầu dự án 1 là:

\[P\left( {B|\bar A} \right) = \frac{{P\left( {B\bar A} \right)}}{{P\left( {\bar A} \right)}} = \frac{{P\left( B \right) - P\left( {AB} \right)}}{{P\left( {\bar A} \right)}} = \frac{{0,5 - 0,4}}{{0,4}} = 0,25\]

Vậy xác suất công ty không thắng thầu dự án 2, biết công ty đã không thắng thầu dự án 1 là

\(P\left( {\overline B \left| {\overline A } \right.} \right) = 1 - P\left( {B\left| {\overline A } \right.} \right) = 1 - 0,25 = 0,75\) nên mệnh đề d) sai

Xét mệnh đề a)
Với \(x = - 1,x = 2\) thay vào biểu thức, ta thấy \(f\left( x \right) - g\left( x \right) = 0\) (thoả mãn) nên mệnh đề a) đúng
Xét mệnh đề b)
\(\int\limits_{ - 1}^2 {\left| {a{{\left( {x - 2} \right)}^2}\left( {x + 1} \right)} \right|} \,dx = a\int\limits_{ - 1}^2 {\left( {{x^2} - 4x + 4} \right)\left( {x + 1} \right)\,dx = a\int\limits_{ - 1}^2 {\left( {{x^3} - 3{x^2} + 4} \right)} \,dx = \left. {\left( {\frac{{{x^4}}}{4} - {x^3} + 4x} \right)} \right|} _{ - 1}^2 = \frac{{27}}{4}a\)
nên mệnh đề b) đúng
Xét mệnh đề c)
Gọi phương trình đường thẳng \(d\) đi qua \(\left( {2;\,0} \right)\) là: \(g\left( x \right) = k\left( {x - 2} \right)\)
Thay \(f\left( 0 \right) = 0\) vào biểu thức \(f\left( x \right) - g\left( x \right) = a{\left( {x - 2} \right)^2}\left( {x + 1} \right) \Leftrightarrow k = 2a\)
Vậy đường thẳng \(d\) có phương trình là \(g\left( x \right) = 2a\left( {x - 2} \right)\), ta thế ngược lại, ta có :
\(f\left( x \right) - 2a\left( {x - 2} \right) = a{\left( {x - 2} \right)^2}\left( {x + 1} \right) \Leftrightarrow f\left( x \right) = a{\left( {x - 2} \right)^2}\left( {x + 1} \right) + 2a\left( {x - 2} \right)\)
\( \Leftrightarrow f\left( x \right) = a\left( {x - 2} \right)\left[ {\left( {x - 2} \right)\left( {x + 1} \right) + 2} \right] \Leftrightarrow f\left( x \right) = a\left( {x - 2} \right)\left( {{x^2} + x} \right) = ax\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)\)
Vậy \[\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx = \int\limits_0^2 {ax\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)} \,dx} = 0\] nên mệnh đề c) sai
Xét mệnh đề d)
Từ câu b) \(\frac{{27}}{4}a = \frac{{27}}{4} \Rightarrow a = 1\) thì hàm số trở thành \(f\left( x \right) = x\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)\) và đồ thị hàm số cắt trục \(Ox\) tại các điểm \(x = 0;\,x = 1;\,x = 2\)
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị và trục \(Ox\) là :\(S' = \int\limits_0^2 {\left| {x\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)} \right|dx} \)
Do tính đối xứng của hai phần diện tích trên đoạn \(\left[ {0;\,1} \right]\) và \(\left[ {1;\,2} \right]\) nên ta chỉ cần tính một phần rồi nhân đôi
Khi đó : \(S' = 2\int\limits_0^1 {x\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)dx} = \frac{1}{2}\)nên mệnh đề d) đúng