Trong không gian \[Oxyz\], cho hai đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right)\) và \(\left( {{d_2}} \right)\) có phương trình:

\(\left( {{d_1}} \right):\,\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = t\\z = 1\end{array} \right.\,\,\,\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\); \(\left( {{d_2}} \right):\,\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + u\\y = 0\\z = 2\end{array} \right.\,\left( {u \in \mathbb{R}} \right)\).

1. Phương trình đường thẳng đi qua điểm \(A\left( {0;1;0} \right)\) cắt cả \(\left( {{d_1}} \right)\) và \(\left( {{d_2}} \right)\) là	A. \(\,\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 1\\z = 2 - t\end{array} \right.\,\,\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\).
2. Phương trình đường thẳng cắt cả \(\left( {{d_1}} \right)\), \(\left( {{d_2}} \right)\) và song song với đường thẳng \(\left( {{\Delta _1}} \right):\,\,\frac{x}{1} = \frac{{y + 1}}{{ - 1}} = \frac{{z - 1}}{1}\) là	B. \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 1 - t\\z = 1 + t\end{array} \right.\,\,\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\).
3. Phương trình đường thẳng đi qua điểm \(B\left( {2;1;2} \right)\) và vuông góc với cả \(\left( {{d_1}} \right)\), \(\left( {{d_2}} \right)\) là	C. \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2t\\y = 1 - t\\z = 2t\end{array} \right.\,\,\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\).
4. Phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right)\) và \(\left( {{d_2}} \right)\) là	D. \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2t\\y = 1 + t\\z = 2t\end{array} \right.\,\,\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\).
	E. \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 0\\z = 1 + t\end{array} \right.\,\,\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\).
	F. \(\,\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 1\\z = 2 + t\end{array} \right.\,\,\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\).

Đáp án: 1 – __ ; 2 – __ ; 3 – __ ; 4 – __

Giả sử \(\left( a \right)\) là đường thẳng đi qua \(A\left( {0;1;0} \right)\) và cắt \(\left( {{d_1}} \right)\) và \(\left( {{d_2}} \right)\) theo thứ tự tại các điểm M, N.

Khi đó:

Điểm \(M \in \left( {{d_1}} \right)\) suy ra \(M\left( {1;t;1} \right)\) và \(\overrightarrow {AM} = \left( {1;\,\,t - 1;\,\,1} \right)\).

Điểm \(N \in \left( {{d_2}} \right)\) suy ra \(N\left( {1 + u;0;2} \right)\) và \(\overrightarrow {AN} = \left( {u + 1;\, - 1;\,\,2} \right)\).

Ba điểm A, M, N thẳng hàng ta được: \(\overrightarrow {AM} = k\overrightarrow {AN} \) \[\left\{ \begin{array}{l}1 = k\left( {u + 1} \right)\\t - 1 = - k\\1 = 2k\end{array} \right.\] \(\left\{ \begin{array}{l}t = \frac{1}{2}\\u = 1\end{array} \right.\) \[N\left( {2;\,0;\,\,2} \right)\].

Khi đó, đường thẳng \(\left( a \right)\) đi qua \(A\left( {0;1;0} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {AN} = \left( {2; - 1;2} \right)\) nên có phương trình là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2t\\y = 1 - t\\z = 2t\end{array} \right.\,\,\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\).

Giả sử \(\left( b \right)\) là đường thẳng cắt \(\left( {{d_1}} \right)\), \(\left( {{d_2}} \right)\) theo thứ tự tại các điểm M, N và song song với đường thẳng \(\left( {{\Delta _1}} \right):\,\,\frac{x}{1} = \frac{{y + 1}}{{ - 1}} = \frac{{z - 1}}{1}\).

Khi đó:

Điểm \(M \in \left( {{d_1}} \right)\) suy ra \(M\left( {1;t;1} \right)\).

Điểm \(N \in \left( {{d_2}} \right)\) suy ra \(N\left( {1 + u;0;2} \right)\).

Vì MN song song với đường thẳng \(\left( {{\Delta _1}} \right)\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_{\Delta 1}}} = \left( {1;\,\, - 1;\,\,1} \right)\) ta được:

\(\overrightarrow {MN} = k\overrightarrow {{u_{\Delta 1}}} \) \[\frac{u}{1} = \frac{{ - t}}{{ - 1}} = \frac{1}{1} \Rightarrow t = u = 1 \Rightarrow M\left( {1;1;1} \right)\].

Khi đó, đường thẳng \(\left( b \right)\) đi qua \(M\left( {1;1;1} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_{\Delta 1}}} = \left( {1;\,\, - 1;\,\,1} \right)\) nên có phương trình là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 1 - t\\z = 1 + t\end{array} \right.\,\,\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\).

Giả sử \(\left( c \right)\) là đường thẳng đi qua điểm \(B\left( {2;1;2} \right)\) và vuông góc với cả \(\left( {{d_1}} \right)\), \(\left( {{d_2}} \right)\) và \(\left( c \right)\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_c}} \), khi đó ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}\left( c \right) \bot \left( {{d_1}} \right)\\\left( c \right) \bot \left( {{d_2}} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {{u_c}} \bot \overrightarrow {{u_1}} \\\overrightarrow {{u_c}} \bot \overrightarrow {{u_2}} \end{array} \right. \Rightarrow \overrightarrow {{u_c}} = \left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\,\,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( {0;\,\,0;\,\, - 1} \right)\].

Khi đó đường thẳng \(\left( c \right)\) đi qua \(B\left( {2;1;2} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_c}} = \left( {0;0; - 1} \right)\) nên có phương trình là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 1\\z = 2 - t\end{array} \right.\,\,\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\).

Giả sử đường thẳng \(\left( d \right)\) là đường vuông góc chung của hai đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right)\) và \(\left( {{d_2}} \right)\). Gọi P, Q theo thứ tự là chân đường vuông góc chung trên \(\left( {{d_1}} \right)\) và \(\left( {{d_2}} \right)\) thì \[P\left( {1;t;1} \right)\] và \(Q\left( {1 + u;0;2} \right)\).

Suy ra \(\overrightarrow {PQ} = \left( {u;\,\, - t;\,\,1} \right)\).

Ta có \[\left\{ \begin{array}{l}\left( d \right) \bot \left( {{d_1}} \right)\\\left( d \right) \bot \left( {{d_2}} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {PQ} \bot \overrightarrow {{u_1}} \\\overrightarrow {PQ} \bot \overrightarrow {{u_2}} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {PQ} \cdot \overrightarrow {{u_1}} = 0\\\overrightarrow {PQ} \cdot \overrightarrow {{u_2}} = 0\end{array} \right. \Rightarrow t = u = 0\]. Suy ra \(P\left( {1;0;1} \right)\) và \(Q\left( {1;0;2} \right)\).

Khi đó, đường vuông góc chung \(\left( d \right)\) đi qua \(P\left( {1;0;1} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {PQ} = \left( {0;0;1} \right)\) nên có phương trình là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 0\\z = 1 + t\end{array} \right.\,\,\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\).

Đáp án: 1 – C; 2 – B; 3 – A; 4 – E.