Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right){\rm{: }}{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x - 4y - 2z + \frac{9}{2} = 0\) và hai điểm \(A\left( {0;2;0} \right),\) \(B\left( {2; - 6; - 2} \right)\). Điểm \(M\left( {a;b;c} \right)\) thuộc \(\left( S \right)\) thỏa mãn \(\overrightarrow {MA} \cdot \overrightarrow {MB} \) có giá trị nhỏ nhất.

1. Đúng. \(\left( S \right){\rm{: }}{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x - 4y - 2z + \frac{9}{2} = 0\)\( \Leftrightarrow \left( S \right){\rm{:}}\,{\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = \frac{3}{2}\).

Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( { - 1;2;1} \right)\).

2. Sai. Mặt cầu \(\left( S \right)\) có bán kính \(R = \frac{{\sqrt 6 }}{2}\).

Vì \[A{I^2} = {\left( {0 + 1} \right)^2}\, + {\left( {2 - 2} \right)^2}\, + {\left( {0 - 1} \right)^2}\, = \,2 > \,\frac{3}{2}\, = \,{R^2}\] nên điểm \(A\) nằm ngoài mặt cầu \(\left( S \right)\).

3. Đúng. Vì mặt cầu \[\left( {S'} \right)\] tâm \(A\) đi qua điểm \(B\) nên mặt cầu \[\left( {S'} \right)\] có bán kính

\[R\, = \,AB\, = \,\sqrt {{{\left( {2 - 0} \right)}^2}\, + \,{{\left( { - 6 - 2} \right)}^2}\, + \,{{\left( { - 2 - 0} \right)}^2}} \, = \,\sqrt {72} \].

Do đó, phương trình mặt cầu \[\left( {S'} \right)\]: \[{x^2}\, + \,{\left( {y - 2} \right)^2}\, + \,{z^2}\, = \,72\].

4. Đúng. Vì \[B{I^2} = {\left( {2 + 1} \right)^2}\, + {\left( { - 6 - 2} \right)^2}\, + {\left( { - 2 - 1} \right)^2}\, = \,82 > \,\frac{3}{2}\, = \,{R^2}\] nên điểm \(B\) nằm ngoài mặt cầu \(\left( S \right)\).

Ta có hai điểm \(A\), \(B\) nằm ngoài mặt cầu \(\left( S \right)\).

Gọi \(K\) là trung điểm đoạn thẳng \(AB\) thì \(K\left( {1; - 2; - 1} \right)\) và \(K\) nằm ngoài mặt cầu \(\left( S \right)\).

Ta có: \(\overrightarrow {MA} \cdot \overrightarrow {MB} \)\( = \left( {\overrightarrow {MK} + \overrightarrow {KA} } \right) \cdot \left( {\overrightarrow {MK} + \overrightarrow {KB} } \right)\)

\( = M{K^2} + \overrightarrow {MK} \cdot \left( {\overrightarrow {KA} + \overrightarrow {KB} } \right) + \overrightarrow {KA} \cdot \overrightarrow {KB} \)\( = M{K^2} - K{A^2}\).

Suy ra \(\overrightarrow {MA} \cdot \overrightarrow {MB} \) nhỏ nhất khi \(M{K^2}\) nhỏ nhất, tức là \(MK\) nhỏ nhất.

Đánh giá: \(IM + MK \ge IK \Rightarrow R + MK \ge IK \Rightarrow MK\)\( \ge IK - R\).

Suy ra \(MK\) nhỏ nhất bằng \(IK - R\), xảy ra khi \(I\), \(M\), \(K\) thẳng hàng và \(M\) nằm giữa hai điểm \(I\), \(K\). Như vậy \(M\) là giao điểm của đoạn thẳng \(IK\) và mặt cầu \(\left( S \right)\).

Có \(\overrightarrow {IK} = \left( {2; - 4; - 2} \right)\), \(IK = \sqrt {{2^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} = 2\sqrt 6 = 4R = 4IM\).

Suy ra \(\overrightarrow {IK} = 4\overrightarrow {IM} \)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2 = 4\left( {a + 1} \right)\\ - 4 = 4\left( {b - 2} \right)\\ - 2 = 4\left( {c - 1} \right)\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - \frac{1}{2}\\b = 1\\c = \frac{1}{2}\end{array} \right.\).

Vậy \(a + b + c = 1\).