Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right){\rm{: }}{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x - 4y - 2z + \frac{9}{2} = 0\) và hai điểm \(A\left( {0;2;0} \right),\) \(B\left( {2; - 6; - 2} \right)\). Điểm \(M\left( {a;b;c} \right)\) thuộc \(\left( S \right)\) thỏa mãn \(\overrightarrow {MA} \cdot \overrightarrow {MB} \) có giá trị nhỏ nhất.
1. Tâm của mặt cầu \(\left( S \right)\) là \(I\left( { - 1;2;1} \right)\).
2. Điểm \(A\) nằm trong mặt cầu \(\left( S \right)\).
3. Phương trình mặt cầu \[\left( {S'} \right)\] tâm \(A\) đi qua điểm \(B\) là: \[{x^2}\, + \,{\left( {y - 2} \right)^2}\, + \,{z^2}\, = \,72\].
4. Tổng \(a + b + c\) bằng 1.
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
1. Đúng. \(\left( S \right){\rm{: }}{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x - 4y - 2z + \frac{9}{2} = 0\)\( \Leftrightarrow \left( S \right){\rm{:}}\,{\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = \frac{3}{2}\).
Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( { - 1;2;1} \right)\).
2. Sai. Mặt cầu \(\left( S \right)\) có bán kính \(R = \frac{{\sqrt 6 }}{2}\).
Vì \[A{I^2} = {\left( {0 + 1} \right)^2}\, + {\left( {2 - 2} \right)^2}\, + {\left( {0 - 1} \right)^2}\, = \,2 > \,\frac{3}{2}\, = \,{R^2}\] nên điểm \(A\) nằm ngoài mặt cầu \(\left( S \right)\).
3. Đúng. Vì mặt cầu \[\left( {S'} \right)\] tâm \(A\) đi qua điểm \(B\) nên mặt cầu \[\left( {S'} \right)\] có bán kính
\[R\, = \,AB\, = \,\sqrt {{{\left( {2 - 0} \right)}^2}\, + \,{{\left( { - 6 - 2} \right)}^2}\, + \,{{\left( { - 2 - 0} \right)}^2}} \, = \,\sqrt {72} \].
Do đó, phương trình mặt cầu \[\left( {S'} \right)\]: \[{x^2}\, + \,{\left( {y - 2} \right)^2}\, + \,{z^2}\, = \,72\].
4. Đúng. Vì \[B{I^2} = {\left( {2 + 1} \right)^2}\, + {\left( { - 6 - 2} \right)^2}\, + {\left( { - 2 - 1} \right)^2}\, = \,82 > \,\frac{3}{2}\, = \,{R^2}\] nên điểm \(B\) nằm ngoài mặt cầu \(\left( S \right)\).
Ta có hai điểm \(A\), \(B\) nằm ngoài mặt cầu \(\left( S \right)\).
Gọi \(K\) là trung điểm đoạn thẳng \(AB\) thì \(K\left( {1; - 2; - 1} \right)\) và \(K\) nằm ngoài mặt cầu \(\left( S \right)\).
Ta có: \(\overrightarrow {MA} \cdot \overrightarrow {MB} \)\( = \left( {\overrightarrow {MK} + \overrightarrow {KA} } \right) \cdot \left( {\overrightarrow {MK} + \overrightarrow {KB} } \right)\)
\( = M{K^2} + \overrightarrow {MK} \cdot \left( {\overrightarrow {KA} + \overrightarrow {KB} } \right) + \overrightarrow {KA} \cdot \overrightarrow {KB} \)\( = M{K^2} - K{A^2}\).
Suy ra \(\overrightarrow {MA} \cdot \overrightarrow {MB} \) nhỏ nhất khi \(M{K^2}\) nhỏ nhất, tức là \(MK\) nhỏ nhất.
Đánh giá: \(IM + MK \ge IK \Rightarrow R + MK \ge IK \Rightarrow MK\)\( \ge IK - R\).
Suy ra \(MK\) nhỏ nhất bằng \(IK - R\), xảy ra khi \(I\), \(M\), \(K\) thẳng hàng và \(M\) nằm giữa hai điểm \(I\), \(K\). Như vậy \(M\) là giao điểm của đoạn thẳng \(IK\) và mặt cầu \(\left( S \right)\).
Có \(\overrightarrow {IK} = \left( {2; - 4; - 2} \right)\), \(IK = \sqrt {{2^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} = 2\sqrt 6 = 4R = 4IM\).
Suy ra \(\overrightarrow {IK} = 4\overrightarrow {IM} \)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2 = 4\left( {a + 1} \right)\\ - 4 = 4\left( {b - 2} \right)\\ - 2 = 4\left( {c - 1} \right)\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - \frac{1}{2}\\b = 1\\c = \frac{1}{2}\end{array} \right.\).
Vậy \(a + b + c = 1\).
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1
1. Xác suất để người đó hút thuốc lá là \(14\% \).
2. Nếu người đó bị ung thư phổi thì xác suất người đó hút thuốc lá lớn hơn \(80\% \).
3. Xác suất để người đó bị ung thư phổi là \(14\% \).
4. Dựa theo kết quả khảo sát trên ta thấy, người hút thuốc lá có nguy cơ mắc bệnh ung thư phổi cao gấp khoảng \(14\) lần (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị) so với người không hút thuốc lá.
Lời giải
1. Sai. Gọi \(A\) là biến cố “Người đó có hút thuốc lá”.
Gọi \(B\) là biến cố “Người đó bị ung thư phổi”.
Ta có xác suất người đó hút thuốc lá \(P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{1124 + 1126}}{{10000}} = \frac{{2250}}{{10000}} = \frac{9}{{40}} = 22,5\% \).
2. Đúng. Số người bị ung thư phổi là \(n\left( B \right) = 1124 + 276 = 1400\).
Ta có \(P\left( {A|B} \right) = \frac{{n\left( {A \cap B} \right)}}{{n\left( B \right)}} = \frac{{1124}}{{1400}} \approx 80,29\% > 80\% \).
3. Đúng. Ta có \(P\left( B \right) = \frac{{n\left( B \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{1400}}{{10000}} = 14\% \).
4. Đúng. Ta tính \(P\left( {B|A} \right) = \frac{{P\left( {BA} \right)}}{{P\left( A \right)}}\)\( = \frac{{1124}}{{2250}} = \frac{{562}}{{1125}}\).
Tính \(P\left( {B|\overline A } \right)\)\( = \frac{{P\left( {B\overline A } \right)}}{{P\left( {\overline A } \right)}}\)\( = \frac{{276}}{{7750}}\).
Vậy \(\frac{{P\left( {B|A} \right)}}{{P\left( {B|\overline A } \right)}} = \frac{{562}}{{1125}}:\frac{{276}}{{7750}} \approx 14\).
Lời giải
Đáp án:
Đáp án: 0,3.
Gọi biến cố \(A:\) “Bé An được mẹ dẫn theo khi đi mua sắm”; biến cố \(B:\) “Bé An được mẹ mua đồ chơi”.
Ta cần tính \(P\left( {B|\bar A} \right).\)
Theo đề bài, ta có: \(P\left( A \right) = \frac{2}{5};P\left( {\bar A} \right) = \frac{3}{5};P\left( {B|A} \right) = 70\% = \frac{7}{{10}};P\left( {A|B} \right) = \frac{{14}}{{23}}.\)
Ta có \(P\left( B \right) \cdot P\left( {A|B} \right) = P\left( A \right) \cdot P\left( {B|A} \right) \Rightarrow P\left( B \right) = \frac{2}{5} \cdot \frac{7}{{10}} \cdot \frac{{23}}{{14}} = \frac{{23}}{{50}}.\)
Mặt khác, theo công thức xác suất toàn phần:
\(P\left( B \right) = P\left( A \right) \cdot P\left( {B|A} \right) + P\left( {\bar A} \right) \cdot P\left( {B|\bar A} \right) \Leftrightarrow \frac{{23}}{{50}} = \frac{2}{5} \cdot \frac{7}{{10}} + \frac{3}{5} \cdot P\left( {B|\bar A} \right) \Leftrightarrow P\left( {B|\bar A} \right) = \frac{3}{{10}} = 0,3.\)
Câu 3
1. Đường tròn có phương trình là \({x^2} + {y^2} = 4\).
2. Parabol có phương trình là \(y = f\left( x \right) = - \frac{1}{2}{x^2} + 2x\).
3. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol \(\left( P \right)\), trục tung, trục hoành và đường thẳng \(x = 4\) bằng \(\frac{8}{3}\).
4. Diện tích hình phẳng \(\left( H \right)\) bằng \(16\left( {\pi - \frac{1}{3}} \right)\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 4
1. \(BC \bot \left( {SAB} \right)\).
2. Thể tích của khối chóp \(S.ABCD\) là \(2{a^3}\).
3. Sin góc giữa đường thẳng \(SC\) và mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) bằng \(\frac{{\sqrt 3 }}{6}\).
4. Khoảng cách giữa 2 đường thẳng \(AC\) và \(SB\) là \(\frac{{2a}}{3}\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
1. Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - 4\,;\,0} \right)\).
2. Ta có \(a + b + c + d = - 2\).
3. Khoảng cách từ \(M\left( {1\,;\, - 8} \right)\) đến đường thẳng đi qua các điểm cực trị của đồ thị hàm số là \(\sqrt 5 \).
4. Tập xác định của hàm số là \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 7
A. \(90\) lít.
B. \(84\) lít.
C. \(65\) lít.
D. \(33\) lít.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập