Một cái lều có dạng hình chóp tứ giác đều, cạnh đáy bằng \(8{\rm{ m}}\) và chiều cao là \(3{\rm{ m}}{\rm{.}}\) Cửa vào lều là hình thang \(EFGH\) trong đó \(AE = FB\) và \(EF = 4{\rm{ m}}\); \(G,H\) lần lượt là trung điểm của \(SE\) và \(SF.\) Một nguồn sáng đặt cách đỉnh \(S\) một mét ở phía dưới. Ánh sáng chiếu ra ngoài qua cửa tạo thành một vùng được chiếu sáng \(EFG'H'.\) Diện tích vùng được chiếu sáng là bao nhiêu mét vuông (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?

Gọi \(I\) là điểm phát sáng; \(M\) là trung điểm của \(EF;N = SM \cap GH;K = OM \cap G'H'.\)

Ta có \(GH\) là đường trung bình của tam giác \(SEF\) nên

\(GH{\rm{//}}EF \subset \left( {ABCD} \right) \Rightarrow GH{\rm{//}}\left( {ABCD} \right) \Rightarrow \left( {IGH} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = G'H'{\rm{//}}EF\).

Gọi \(P,Q\) lần lượt là trung điểm của \(SO,OM.\) Theo đề bài ta có

\(SI = 1{\rm{m,}}IO = 2{\rm{m,}}SP = \frac{1}{2}SO = \frac{3}{2}{\rm{m}} \Rightarrow IP = \frac{1}{2};NP = OQ = 2{\rm{m}}\) (vì \(M\) là trung điểm của \(EF\) nên \(N\) là trung điểm của \(GH,SM)\).

Xét tam giác \(IOK\) có \(PN{\rm{//}}OK \Rightarrow \frac{{IP}}{{IO}} = \frac{{PN}}{{OK}} = \frac{{1/2}}{2} = \frac{1}{4} \Rightarrow OK = 8{\rm{ m}}{\rm{.}}\)

Mà \(OM = 4\) nên \(M\) là trung điểm của \(OK\) và \(EF{\rm{//}}G'H'\) nên \(EF\) là đường trung bình của tam giác \(OG'H' \Rightarrow G'H' = 2EF = 2\left( {AB - AE - FB} \right) = 8{\rm{ m}}{\rm{.}}\)

Do \(M\) là trung điểm của \(EF\), cũng là trung điểm của \(AB\) nên \(OM \bot EF.\) Suy ra \(MK\) là đường cao của hình thang \(EFG'H'\) và \(MK = OM = 4{\rm{ m}}{\rm{.}}\)

Vậy \({S_{EFG'H'}} = \frac{{EF + G'H'}}{2} \cdot MK = \frac{{4 + 8}}{2} \cdot 4 = 24{\rm{ }}{{\rm{m}}^2}.\)

Cách khác

Gọi \(I\) là điểm phát sáng; \(M\) là trung điểm của \(EF\) cũng là trung điểm của \(AB\,\,({\rm{v\`i }}AE = FB);J\) là trung điểm của \(BC\) (hình vẽ).

Chọn hệ trục tọa độ \(Oxyz\) sao cho tia \(OM \equiv Ox,ON \equiv Oy,OS \equiv Oz.\) Khi đó

\(O\left( {0;0;0} \right),M\left( {4;0;0} \right),J\left( {0;4;0} \right),S\left( {0;0;3} \right),A\left( {4; - 4;0} \right),B\left( {4;4;0} \right),E\left( {4; - 2;0} \right),F\left( {4;2;0} \right),I\left( {0;0;2} \right).\)

\(H\) là trung điểm \(SE \Rightarrow H\left( {2; - 1;\frac{3}{2}} \right)\); \(G\)là trung điểm của \(SF \Rightarrow G\left( {2;1;\frac{3}{2}} \right).\)

Mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right) \equiv \left( {Oxy} \right):z = 0.\)

\(\overrightarrow {IH} = \left( {2; - 1; - \frac{1}{2}} \right) = \frac{1}{2}\left( {4; - 2; - 1} \right) \Rightarrow IH:\left\{ \begin{array}{l}x = 4t\\y = - 2t\\z = 2 - t\end{array} \right. \Rightarrow H' = IH \cap \left( {Oxy} \right) \Rightarrow H'\left( {8; - 4;0} \right)\).

\(\overrightarrow {IG} = \left( {2;1; - \frac{1}{2}} \right) = \frac{1}{2}\left( {4;2; - 1} \right) \Rightarrow IG:\left\{ \begin{array}{l}x = 4t'\\y = 2t'\\z = 2 - t'\end{array} \right. \Rightarrow G = IG \cap \left( {Oxy} \right) \Rightarrow G\left( {8;4;0} \right)\).

\(\overrightarrow {EH'} = \left( {4; - 2;0} \right),\overrightarrow {EG'} = \left( {4;6;0} \right),\overrightarrow {EF} = \left( {0;4;0} \right)\).

Vậy \({S_{EFG'H'}} = {S_{\Delta EFG'}} + {S_{\Delta EG'H'}} = \frac{1}{2}\left( {\left| {\overrightarrow {EF} \times \overrightarrow {EG'} } \right| + \left| {\overrightarrow {EG'} \times \overrightarrow {EH'} } \right|} \right) = \frac{1}{2}\left( {16 + 32} \right) = 24{\rm{ }}{{\rm{m}}^2}.\)

Đáp án: \(24\).