Một kỹ sư cơ khí nghiên cứu quá trình làm nguội một chi tiết máy sau khi đúc. Độ chênh lệch nhiệt độ giữa vật và môi trường thay đổi theo thời gian. Gọi \(y(t)\) là hiệu số nhiệt độ giữa chi tiết máy và môi trường tại thời điểm \(t\) (phút). Theo định luật Newton về làm lạnh, tốc độ thay đổi của \(y(t)\) tỉ lệ thuận với \(y(t)\), tức là: \[y'\left( t \right){\rm{ }} = {\rm{ }}k.y\left( t \right)\] (\[t \ge 0,\,k < 0\]). Người ta đo được nhiệt độ chênh lệch tại thời điểm \[t = 10\] phút là \[40^\circ C\]. Đến thời điểm \[t = 20\] phút, nhiệt độ chênh lệch giảm xuống còn \[10^\circ C\]. Cho biết \(y(t) = {e^{g(t)}}\).

Đáp án: 0,97

Cách 1. Dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung \(EF.\)

Cách 2. Tính gián tiếp

Gọi \(O\) là tâm hình vuông \(ABCD;\) \(M\) là trung điểm của \(CD;\) \(H\) là chân đường cao của tam giác \(SOM\) kẻ từ \(O.\)

Ta có,

$\left.\begin{array}{l}CD\subset \left(SCD\right)\\ AB\Vert CD\subset \left(SCD\right)\end{array}\right\}\Rightarrow \text{d}(AB,CD)=\text{d}(AB,(SCD\left)\right)=\text{d}(B,(SCD\left)\right)=2\text{d}(O,(SCD\left)\right).$

Mặt khác

\(\begin{array}{l}\left. \begin{array}{l}\left. \begin{array}{l}\left. \begin{array}{l}SO \bot (ABCD) \Rightarrow CD \bot SO\\CD \bot OM;SO \cap OM = O\end{array} \right\} \Rightarrow CD \bot (SOM)\\OH \subset (SOM)\end{array} \right\} \Rightarrow OH \bot CD\\OH \bot SM;CD \cap SM = M\end{array} \right\} \Rightarrow OH \bot (SCD)\\ \Rightarrow {\rm{d}}(O,(SCD)) = OH \Rightarrow {\rm{d}}(AB,SD) = 2OH.\end{array}\)

Xét tam giác \(SOD\) vuông tại \(O\) có \(S{O^2} = S{D^2} - O{D^2} = {2^2} - {\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)^2} = \frac{7}{2}\)

Xét tam giác \(SOM\) vuông tại \(O\) có \(O{H^2} = \frac{{S{O^2}.O{M^2}}}{{S{O^2} + O{M^2}}} = \frac{{\frac{7}{2}.\frac{1}{4}}}{{\frac{7}{2} + \frac{1}{4}}} = \frac{7}{{30}} \Rightarrow OH = \frac{{\sqrt {210} }}{{30}}.\)

Vậy \({\rm{d}}(AB,SD) = 2.\frac{{\sqrt {210} }}{{30}} \approx 0,97.\)

Cách 3: Giải bằng phương pháp tọa độ.

Chọn hệ trục như hình vẽ, ta có: \(A\left( {0; - \frac{{\sqrt 2 }}{2};0} \right),B\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2};0;0} \right),D\left( { - \frac{{\sqrt 2 }}{2};0;0} \right),S\left( {0;0;\frac{{\sqrt {14} }}{2}} \right).\)

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {AB}  = \left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2};\frac{{\sqrt 2 }}{2};0} \right);\overrightarrow {DS}  = \left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2};0;\frac{{\sqrt {14} }}{2}} \right);\overrightarrow {AD}  = \left( { - \frac{{\sqrt 2 }}{2};\frac{{\sqrt 2 }}{2};0} \right)\\{\rm{d}}(AB,SD) = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {DS} } \right].\overrightarrow {AD} } \right|}}{{\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {DS} } \right]} \right|}} \approx 0,97.\end{array}\).

Đáp án: 5,66

Tiêu điểm là \[A\left( {3;0;0} \right)\]và \[B\left( { - 3;0;0} \right)\] suy ra \[c = 3\]

Tổng khoảng cách từ nó đến hai trạm phát \[A\]và \[B\] cố định bằng 10km suy ra \[MA + MB = 2a = 10 \Rightarrow a = 5\].

Suy ra \[{b^2} = {a^2} - {c^2} \Rightarrow b = 4\].

Phương trình Elip của quỹ đạo vệ tinh \[M\] là \[\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1\],

\[C{M^2} = {x^2} + {y^2} + 16 = {x^2} + 16\left( {1 - \frac{{{x^2}}}{{25}}} \right) + 16 = \frac{{9{x^2}}}{{25}} + 32 \ge 32\].

Vậy \[CM\] đạt GTNN là \[\sqrt {32}  \approx 5,66{\rm{ khi }}x = 0\].