Một công ty công nghệ GigaCloud chuẩn bị cho ra mắt dịch vụ lưu trữ đám mây cao cấp dành riêng cho các doanh nghiệp lớn. Qua phân tích dữ liệu lớn (big Data), các chuyên gia kinh tế của công ty xác lập được mô hình cầu như sau: Nếu định giá gói cước hàng tháng là \(x\)(triệu đồng) thì số lượng doanh nghiệp đăng ký sử dụng là \(S\) (nghìn doanh nghiệp) sẽ là\(S\left( x \right) = \sqrt {45 - x} \) (với điều kiện mức giá \(x\) phải nhỏ hơn 45 triệu đồng). Chi phí vận hành hệ thống của GigaCloud bao gồm hai khoảng: Chi phí cố định là \(10\)tỷ đồng mỗi tháng (cho cơ sở hạ tầng, nhân sự cốt lỗi) và chi phí vận hành. Do đặt thù bảo mật dữ liệu, khi số lượng khách hàng tăng lên thì chi phí băng thông và chi phí bảo trì tăng theo cấp số nhân. Cụ thể, chi phí này tỷ lệ thuận với bình phương số lượng khách hàng \({C_v} = 3{S^2}\)(tỷ đồng). Hãy xác định mức giá cước \(x\) mà GigaCloud cần niêm yết để đạt lợi nhuận ròng hàng tháng cao nhất?

Đáp án: 0,97

Cách 1. Dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung \(EF.\)

Cách 2. Tính gián tiếp

Gọi \(O\) là tâm hình vuông \(ABCD;\) \(M\) là trung điểm của \(CD;\) \(H\) là chân đường cao của tam giác \(SOM\) kẻ từ \(O.\)

Ta có,

$\left.\begin{array}{l}CD\subset \left(SCD\right)\\ AB\Vert CD\subset \left(SCD\right)\end{array}\right\}\Rightarrow \text{d}(AB,CD)=\text{d}(AB,(SCD\left)\right)=\text{d}(B,(SCD\left)\right)=2\text{d}(O,(SCD\left)\right).$

Mặt khác

\(\begin{array}{l}\left. \begin{array}{l}\left. \begin{array}{l}\left. \begin{array}{l}SO \bot (ABCD) \Rightarrow CD \bot SO\\CD \bot OM;SO \cap OM = O\end{array} \right\} \Rightarrow CD \bot (SOM)\\OH \subset (SOM)\end{array} \right\} \Rightarrow OH \bot CD\\OH \bot SM;CD \cap SM = M\end{array} \right\} \Rightarrow OH \bot (SCD)\\ \Rightarrow {\rm{d}}(O,(SCD)) = OH \Rightarrow {\rm{d}}(AB,SD) = 2OH.\end{array}\)

Xét tam giác \(SOD\) vuông tại \(O\) có \(S{O^2} = S{D^2} - O{D^2} = {2^2} - {\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)^2} = \frac{7}{2}\)

Xét tam giác \(SOM\) vuông tại \(O\) có \(O{H^2} = \frac{{S{O^2}.O{M^2}}}{{S{O^2} + O{M^2}}} = \frac{{\frac{7}{2}.\frac{1}{4}}}{{\frac{7}{2} + \frac{1}{4}}} = \frac{7}{{30}} \Rightarrow OH = \frac{{\sqrt {210} }}{{30}}.\)

Vậy \({\rm{d}}(AB,SD) = 2.\frac{{\sqrt {210} }}{{30}} \approx 0,97.\)

Cách 3: Giải bằng phương pháp tọa độ.

Chọn hệ trục như hình vẽ, ta có: \(A\left( {0; - \frac{{\sqrt 2 }}{2};0} \right),B\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2};0;0} \right),D\left( { - \frac{{\sqrt 2 }}{2};0;0} \right),S\left( {0;0;\frac{{\sqrt {14} }}{2}} \right).\)

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {AB}  = \left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2};\frac{{\sqrt 2 }}{2};0} \right);\overrightarrow {DS}  = \left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2};0;\frac{{\sqrt {14} }}{2}} \right);\overrightarrow {AD}  = \left( { - \frac{{\sqrt 2 }}{2};\frac{{\sqrt 2 }}{2};0} \right)\\{\rm{d}}(AB,SD) = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {DS} } \right].\overrightarrow {AD} } \right|}}{{\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {DS} } \right]} \right|}} \approx 0,97.\end{array}\).

a) Đúng.

\(g(t) = \ln y(t) \Rightarrow g'(t) = \frac{{y'(t)}}{{y(t)}} = k \Rightarrow g(t) = kt + C.\)

b) Đúng.

Vì \(\left\{ \begin{array}{l}y(10) = 40\\y(20) = 10\end{array} \right.\) nên \[\left\{ \begin{array}{l}g(10) = \ln y(10) = \ln 40\\g(20) = \ln y(20) = \ln 10\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}10k + C = \ln 40\\20k + C = \ln 10\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}k = \frac{{ - \ln 4}}{{10}}\\C = 5\ln 2 + \ln 5\end{array} \right.\].

c) Sai.

\[C = 5\ln 2 + \ln 5\].

d) Sai.

Ta có \(g(t) = \frac{{ - \ln 4}}{{10}}.t + 5\ln 2 + \ln 5\)

Do đó \(y(t) = {e^{g(t)}} < 1 \Leftrightarrow g(t) < 0 \Leftrightarrow \frac{{ - \ln 4}}{{10}}.t + 5\ln 2 + \ln 5 < 0 \Rightarrow t > \frac{{10(5\ln 2 + \ln 5)}}{{\ln 4}} \approx 36,6\).