Trong một trò chơi xếp số, người ta chọn ngẫu nhiên \(5\) số khác nhau từ tập \(S = \{ 1;2;3; \ldots ;30\} \) và đặt mỗi số vào đúng một vị trí trong \(5\) vị trí \(A,B,C,D,E\) như hình vẽ, sao cho bên trong mỗi vị trí chỉ được xếp một số. Trò chơi kết thúc khi các điều kiện sau được thỏa mãn:

Ÿ Những bộ ba vị trí \((A,B,C),(C,D,E)\) theo thứ tự lập thành cấp số cộng.

Ÿ Bộ ba vị trí \((A,C,E)\) theo thứ tự lập thành cấp số nhân.

Xác suất kết thúc trò chơi ở một lần chọn và sắp xếp là \(a\). Tính \(\frac{1}{{2026a}}\) (Kết quả làm tròn đến chữ số hàng đơn vị).

Đáp án: 0,97

Cách 1. Dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung \(EF.\)

Cách 2. Tính gián tiếp

Gọi \(O\) là tâm hình vuông \(ABCD;\) \(M\) là trung điểm của \(CD;\) \(H\) là chân đường cao của tam giác \(SOM\) kẻ từ \(O.\)

Ta có,

$\left.\begin{array}{l}CD\subset \left(SCD\right)\\ AB\Vert CD\subset \left(SCD\right)\end{array}\right\}\Rightarrow \text{d}(AB,CD)=\text{d}(AB,(SCD\left)\right)=\text{d}(B,(SCD\left)\right)=2\text{d}(O,(SCD\left)\right).$

Mặt khác

\(\begin{array}{l}\left. \begin{array}{l}\left. \begin{array}{l}\left. \begin{array}{l}SO \bot (ABCD) \Rightarrow CD \bot SO\\CD \bot OM;SO \cap OM = O\end{array} \right\} \Rightarrow CD \bot (SOM)\\OH \subset (SOM)\end{array} \right\} \Rightarrow OH \bot CD\\OH \bot SM;CD \cap SM = M\end{array} \right\} \Rightarrow OH \bot (SCD)\\ \Rightarrow {\rm{d}}(O,(SCD)) = OH \Rightarrow {\rm{d}}(AB,SD) = 2OH.\end{array}\)

Xét tam giác \(SOD\) vuông tại \(O\) có \(S{O^2} = S{D^2} - O{D^2} = {2^2} - {\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)^2} = \frac{7}{2}\)

Xét tam giác \(SOM\) vuông tại \(O\) có \(O{H^2} = \frac{{S{O^2}.O{M^2}}}{{S{O^2} + O{M^2}}} = \frac{{\frac{7}{2}.\frac{1}{4}}}{{\frac{7}{2} + \frac{1}{4}}} = \frac{7}{{30}} \Rightarrow OH = \frac{{\sqrt {210} }}{{30}}.\)

Vậy \({\rm{d}}(AB,SD) = 2.\frac{{\sqrt {210} }}{{30}} \approx 0,97.\)

Cách 3: Giải bằng phương pháp tọa độ.

Chọn hệ trục như hình vẽ, ta có: \(A\left( {0; - \frac{{\sqrt 2 }}{2};0} \right),B\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2};0;0} \right),D\left( { - \frac{{\sqrt 2 }}{2};0;0} \right),S\left( {0;0;\frac{{\sqrt {14} }}{2}} \right).\)

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {AB}  = \left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2};\frac{{\sqrt 2 }}{2};0} \right);\overrightarrow {DS}  = \left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2};0;\frac{{\sqrt {14} }}{2}} \right);\overrightarrow {AD}  = \left( { - \frac{{\sqrt 2 }}{2};\frac{{\sqrt 2 }}{2};0} \right)\\{\rm{d}}(AB,SD) = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {DS} } \right].\overrightarrow {AD} } \right|}}{{\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {DS} } \right]} \right|}} \approx 0,97.\end{array}\).

Đáp án: 5,66

Tiêu điểm là \[A\left( {3;0;0} \right)\]và \[B\left( { - 3;0;0} \right)\] suy ra \[c = 3\]

Tổng khoảng cách từ nó đến hai trạm phát \[A\]và \[B\] cố định bằng 10km suy ra \[MA + MB = 2a = 10 \Rightarrow a = 5\].

Suy ra \[{b^2} = {a^2} - {c^2} \Rightarrow b = 4\].

Phương trình Elip của quỹ đạo vệ tinh \[M\] là \[\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1\],

\[C{M^2} = {x^2} + {y^2} + 16 = {x^2} + 16\left( {1 - \frac{{{x^2}}}{{25}}} \right) + 16 = \frac{{9{x^2}}}{{25}} + 32 \ge 32\].

Vậy \[CM\] đạt GTNN là \[\sqrt {32}  \approx 5,66{\rm{ khi }}x = 0\].