Trong không gian với hệ trục tọa độ \[Oxyz\] Cho hai điểm \[A\left( {1;2;1} \right),B\left( {2; - 2;0} \right)\]

Đáp án: 2022

Ta có \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y =  - 1 - t\\z = 4 + t\end{array} \right.\). Vì \(\Delta  \cap d = \left\{ B \right\}\) nên \(B\left( {1 + 2t; - 1 - t;4 + t} \right)\).

Do \(C\) là trung điểm \(AB\) nên ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_C} = \frac{{{x_A} + {x_B}}}{2}\\{y_C} = \frac{{{y_A} + {y_B}}}{2}\\{z_C} = \frac{{{z_A} + {z_B}}}{2}\end{array} \right.\)\( = \left\{ \begin{array}{l}{x_C} = \frac{{1 + 1 + 2t}}{2} = 1 + t\\{y_C} = \frac{{2 - 1 - t}}{2} = \frac{1}{2} - \frac{t}{2}\\{z_C} = \frac{{ - 1 + 4 + t}}{2} = \frac{3}{2} + \frac{t}{2}\end{array} \right.\).

Suy ra \(C\left( {1 + t;\frac{1}{2} - \frac{t}{2};\frac{3}{2} + \frac{t}{2}} \right)\).

Vì \(C\) thuộc mặt phẳng \(\left( P \right)\) nên \(1 + t + 3\left( {\frac{1}{2} - \frac{t}{2}} \right) - 2\left( {\frac{3}{2} + \frac{t}{2}} \right) + 3029 = 0\)\( \Leftrightarrow t = 2019\).

Suy ra \(C\left( {2020; - 1009;1011} \right)\). Vậy \(a + b + c = 2022\).

Đáp án: \(2,94\)

1. Thiết lập các biến số

Gọi các kích thước của bể hình hộp chữ nhật lần lượt là:

Chiều rộng: \[x{\rm{ }}(m,x > 0)\].

Chiều dài: \[3x{\rm{  }}(m)\] (vì chiều dài gấp 3 lần chiều rộng).

Chiều cao: \[{\rm{h }}(m);h > 0\].

Thể tích của bể là \(V = 108{\rm{ }}{{\rm{m}}^3}\), ta có:  \(V = 3x \cdot x \cdot h = 3{x^2}h = 108 \Rightarrow h = \frac{{108}}{{3{x^2}}} = \frac{{36}}{{{x^2}}}\).

2. Tính tổng diện tích cần xây dựng \[\left( {\bf{S}} \right)\]

Diện tích đáy: \({S_d} = 3x \cdot x = 3{x^2}\).

Diện tích xung quanh: \({S_{xq}} = 2 \cdot (3x + x) \cdot h = 8xh = 8x \cdot \frac{{36}}{{{x^2}}} = \frac{{288}}{x}\).

Diện tích nắp (có lỗ hở):

Bán kính lỗ hở: \(r = \frac{1}{3}x\).

\({S_{\rm{n}}} = (3x \cdot x) - \pi  \cdot {r^2} = 3{x^2} - \pi  \cdot {\left( {\frac{x}{3}} \right)^2} = 3{x^2} - \frac{{\pi {x^2}}}{9}\).

Tổng diện tích cần xây dựng \[\left( {\bf{S}} \right)\]:

        \(S = {S_{\rm{d}}} + {S_{xq}} + {S_{\rm{n}}} =  = 3{x^2} + \frac{{288}}{x} + 3{x^2} - \frac{{\pi {x^2}}}{9} = \left( {6 - \frac{\pi }{9}} \right){x^2} + \frac{{288}}{x}\).

        \(S' = 2 \cdot \left( {6 - \frac{\pi }{9}} \right)x - \frac{{288}}{{{x^2}}}\).

        Cho \[S' = 0 \Rightarrow 2 \cdot \left( {\frac{{54 - \pi }}{9}} \right)x = \frac{{288}}{{{x^2}}} \Rightarrow x = \sqrt[3]{{\frac{{1296}}{{54 - \pi }}}} \approx 2.9427...\]

Đáp án: \(2,94\)