PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho đường thẳng \(\Delta :\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y - 1}}{2} = \frac{z}{{ - 1}}\). Gọi \(\left( P \right)\) là mặt phẳng chứa \(\Delta \) và cắt trục \(Ox,Oy\) tương ứng tại \(A,B\) sao cho hai đường thẳng \(AB\) và \(\Delta \) vuông góc với nhau. Khoảng cách từ gốc tọa độ \(O\) đến mặt phẳng \(\left( P \right)\) bằng bao nhiêu (không làm tròn kết quả các phép tính trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng phần trăm)?

Đáp án: 2022

Ta có \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y =  - 1 - t\\z = 4 + t\end{array} \right.\). Vì \(\Delta  \cap d = \left\{ B \right\}\) nên \(B\left( {1 + 2t; - 1 - t;4 + t} \right)\).

Do \(C\) là trung điểm \(AB\) nên ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_C} = \frac{{{x_A} + {x_B}}}{2}\\{y_C} = \frac{{{y_A} + {y_B}}}{2}\\{z_C} = \frac{{{z_A} + {z_B}}}{2}\end{array} \right.\)\( = \left\{ \begin{array}{l}{x_C} = \frac{{1 + 1 + 2t}}{2} = 1 + t\\{y_C} = \frac{{2 - 1 - t}}{2} = \frac{1}{2} - \frac{t}{2}\\{z_C} = \frac{{ - 1 + 4 + t}}{2} = \frac{3}{2} + \frac{t}{2}\end{array} \right.\).

Suy ra \(C\left( {1 + t;\frac{1}{2} - \frac{t}{2};\frac{3}{2} + \frac{t}{2}} \right)\).

Vì \(C\) thuộc mặt phẳng \(\left( P \right)\) nên \(1 + t + 3\left( {\frac{1}{2} - \frac{t}{2}} \right) - 2\left( {\frac{3}{2} + \frac{t}{2}} \right) + 3029 = 0\)\( \Leftrightarrow t = 2019\).

Suy ra \(C\left( {2020; - 1009;1011} \right)\). Vậy \(a + b + c = 2022\).

Đap án: 0,35

Gọi A là biến cố “Lấy được viên bi xanh từ hộp thứ ba”

Trường hợp 1: Cả hai hộp I, II đều lấy ra được bi trắng. Khi đó, hộp thứ ba có 11 bi trắng và 7 bi xanh nên \(P\left( A \right) = \frac{9}{{11}}.\frac{4}{9}.\frac{7}{{18}} = \frac{{14}}{{99}}\).

Trường hợp 2: Cả hai hộp I, II đều lấy ra được bi xanh. Khi đó, hộp thứ ba có 13 bi trắng và 5 bi xanh nên \(P\left( A \right) = \frac{2}{{11}}.\frac{5}{9}.\frac{5}{{18}} = \frac{{25}}{{891}}\).

Trường hợp 3: Hộp I lấy ra bi trắng, hộp II lấy ra bi xanh. Khi đó, hộp thứ ba có 12 bi trắng và 6 bi xanh nên \(P\left( A \right) = \frac{9}{{11}}.\frac{5}{9}.\frac{6}{{18}} = \frac{5}{{33}}\).

Trường hợp 4: Hộp I lấy ra bi xanh, hộp II lấy ra bi trắng. Khi đó, hộp thứ ba có 12 bi trắng và 6 bi xanh nên \(P\left( A \right) = \frac{2}{{11}}.\frac{4}{9}.\frac{6}{{18}} = \frac{8}{{297}}\).

Vậy \(P\left( A \right) = \frac{{14}}{{99}} + \frac{{25}}{{891}} + \frac{5}{{33}} + \frac{8}{{297}} = \frac{{310}}{{891}} \approx 0,35\).