PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho đường thẳng \(\Delta :\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y - 1}}{2} = \frac{z}{{ - 1}}\). Gọi \(\left( P \right)\) là mặt phẳng chứa \(\Delta \) và cắt trục \(Ox,Oy\) tương ứng tại \(A,B\) sao cho hai đường thẳng \(AB\) và \(\Delta \) vuông góc với nhau. Khoảng cách từ gốc tọa độ \(O\) đến mặt phẳng \(\left( P \right)\) bằng bao nhiêu (không làm tròn kết quả các phép tính trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng phần trăm)?

Đáp án: 2022

Ta có \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y =  - 1 - t\\z = 4 + t\end{array} \right.\). Vì \(\Delta  \cap d = \left\{ B \right\}\) nên \(B\left( {1 + 2t; - 1 - t;4 + t} \right)\).

Do \(C\) là trung điểm \(AB\) nên ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_C} = \frac{{{x_A} + {x_B}}}{2}\\{y_C} = \frac{{{y_A} + {y_B}}}{2}\\{z_C} = \frac{{{z_A} + {z_B}}}{2}\end{array} \right.\)\( = \left\{ \begin{array}{l}{x_C} = \frac{{1 + 1 + 2t}}{2} = 1 + t\\{y_C} = \frac{{2 - 1 - t}}{2} = \frac{1}{2} - \frac{t}{2}\\{z_C} = \frac{{ - 1 + 4 + t}}{2} = \frac{3}{2} + \frac{t}{2}\end{array} \right.\).

Suy ra \(C\left( {1 + t;\frac{1}{2} - \frac{t}{2};\frac{3}{2} + \frac{t}{2}} \right)\).

Vì \(C\) thuộc mặt phẳng \(\left( P \right)\) nên \(1 + t + 3\left( {\frac{1}{2} - \frac{t}{2}} \right) - 2\left( {\frac{3}{2} + \frac{t}{2}} \right) + 3029 = 0\)\( \Leftrightarrow t = 2019\).

Suy ra \(C\left( {2020; - 1009;1011} \right)\). Vậy \(a + b + c = 2022\).

Đáp án: \(2,94\)

1. Thiết lập các biến số

Gọi các kích thước của bể hình hộp chữ nhật lần lượt là:

Chiều rộng: \[x{\rm{ }}(m,x > 0)\].

Chiều dài: \[3x{\rm{  }}(m)\] (vì chiều dài gấp 3 lần chiều rộng).

Chiều cao: \[{\rm{h }}(m);h > 0\].

Thể tích của bể là \(V = 108{\rm{ }}{{\rm{m}}^3}\), ta có:  \(V = 3x \cdot x \cdot h = 3{x^2}h = 108 \Rightarrow h = \frac{{108}}{{3{x^2}}} = \frac{{36}}{{{x^2}}}\).

2. Tính tổng diện tích cần xây dựng \[\left( {\bf{S}} \right)\]

Diện tích đáy: \({S_d} = 3x \cdot x = 3{x^2}\).

Diện tích xung quanh: \({S_{xq}} = 2 \cdot (3x + x) \cdot h = 8xh = 8x \cdot \frac{{36}}{{{x^2}}} = \frac{{288}}{x}\).

Diện tích nắp (có lỗ hở):

Bán kính lỗ hở: \(r = \frac{1}{3}x\).

\({S_{\rm{n}}} = (3x \cdot x) - \pi  \cdot {r^2} = 3{x^2} - \pi  \cdot {\left( {\frac{x}{3}} \right)^2} = 3{x^2} - \frac{{\pi {x^2}}}{9}\).

Tổng diện tích cần xây dựng \[\left( {\bf{S}} \right)\]:

        \(S = {S_{\rm{d}}} + {S_{xq}} + {S_{\rm{n}}} =  = 3{x^2} + \frac{{288}}{x} + 3{x^2} - \frac{{\pi {x^2}}}{9} = \left( {6 - \frac{\pi }{9}} \right){x^2} + \frac{{288}}{x}\).

        \(S' = 2 \cdot \left( {6 - \frac{\pi }{9}} \right)x - \frac{{288}}{{{x^2}}}\).

        Cho \[S' = 0 \Rightarrow 2 \cdot \left( {\frac{{54 - \pi }}{9}} \right)x = \frac{{288}}{{{x^2}}} \Rightarrow x = \sqrt[3]{{\frac{{1296}}{{54 - \pi }}}} \approx 2.9427...\]

Đáp án: \(2,94\)