Một chậu trồng cây có dạng hình chóp cụt tứ giác đều có cạnh đáy lớn là 1,2 m; cạnh đáy nhỏ là 0,6 m; chiều cao là 0,75 m. Người ta đổ đất vào chậu, biết rằng 1 m³ đất có khối lượng 1,6 tấn. Hỏi chậu chứa đầy sẽ có khối lượng đất bao nhiêu tấn (không làm tròn kết quả các phép tính trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng phần trăm)?

Đáp án: 2022

Ta có \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y =  - 1 - t\\z = 4 + t\end{array} \right.\). Vì \(\Delta  \cap d = \left\{ B \right\}\) nên \(B\left( {1 + 2t; - 1 - t;4 + t} \right)\).

Do \(C\) là trung điểm \(AB\) nên ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_C} = \frac{{{x_A} + {x_B}}}{2}\\{y_C} = \frac{{{y_A} + {y_B}}}{2}\\{z_C} = \frac{{{z_A} + {z_B}}}{2}\end{array} \right.\)\( = \left\{ \begin{array}{l}{x_C} = \frac{{1 + 1 + 2t}}{2} = 1 + t\\{y_C} = \frac{{2 - 1 - t}}{2} = \frac{1}{2} - \frac{t}{2}\\{z_C} = \frac{{ - 1 + 4 + t}}{2} = \frac{3}{2} + \frac{t}{2}\end{array} \right.\).

Suy ra \(C\left( {1 + t;\frac{1}{2} - \frac{t}{2};\frac{3}{2} + \frac{t}{2}} \right)\).

Vì \(C\) thuộc mặt phẳng \(\left( P \right)\) nên \(1 + t + 3\left( {\frac{1}{2} - \frac{t}{2}} \right) - 2\left( {\frac{3}{2} + \frac{t}{2}} \right) + 3029 = 0\)\( \Leftrightarrow t = 2019\).

Suy ra \(C\left( {2020; - 1009;1011} \right)\). Vậy \(a + b + c = 2022\).

Đáp án: \(2,94\)

1. Thiết lập các biến số

Gọi các kích thước của bể hình hộp chữ nhật lần lượt là:

Chiều rộng: \[x{\rm{ }}(m,x > 0)\].

Chiều dài: \[3x{\rm{  }}(m)\] (vì chiều dài gấp 3 lần chiều rộng).

Chiều cao: \[{\rm{h }}(m);h > 0\].

Thể tích của bể là \(V = 108{\rm{ }}{{\rm{m}}^3}\), ta có:  \(V = 3x \cdot x \cdot h = 3{x^2}h = 108 \Rightarrow h = \frac{{108}}{{3{x^2}}} = \frac{{36}}{{{x^2}}}\).

2. Tính tổng diện tích cần xây dựng \[\left( {\bf{S}} \right)\]

Diện tích đáy: \({S_d} = 3x \cdot x = 3{x^2}\).

Diện tích xung quanh: \({S_{xq}} = 2 \cdot (3x + x) \cdot h = 8xh = 8x \cdot \frac{{36}}{{{x^2}}} = \frac{{288}}{x}\).

Diện tích nắp (có lỗ hở):

Bán kính lỗ hở: \(r = \frac{1}{3}x\).

\({S_{\rm{n}}} = (3x \cdot x) - \pi  \cdot {r^2} = 3{x^2} - \pi  \cdot {\left( {\frac{x}{3}} \right)^2} = 3{x^2} - \frac{{\pi {x^2}}}{9}\).

Tổng diện tích cần xây dựng \[\left( {\bf{S}} \right)\]:

        \(S = {S_{\rm{d}}} + {S_{xq}} + {S_{\rm{n}}} =  = 3{x^2} + \frac{{288}}{x} + 3{x^2} - \frac{{\pi {x^2}}}{9} = \left( {6 - \frac{\pi }{9}} \right){x^2} + \frac{{288}}{x}\).

        \(S' = 2 \cdot \left( {6 - \frac{\pi }{9}} \right)x - \frac{{288}}{{{x^2}}}\).

        Cho \[S' = 0 \Rightarrow 2 \cdot \left( {\frac{{54 - \pi }}{9}} \right)x = \frac{{288}}{{{x^2}}} \Rightarrow x = \sqrt[3]{{\frac{{1296}}{{54 - \pi }}}} \approx 2.9427...\]

Đáp án: \(2,94\)