Có hai hộp đựng các viên bi: Hộp thứ nhất có 9 viên bi trắng và 2 viên bi xanh, hộp thứ hai có 4 viên bi trắng và 5 viên bi xanh. Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp ra một viên bi và không hoàn lại, sau đó đem số bi còn lại ở hai hộp này cho vào hộp thứ ba (hộp thứ ba trước đó không chứa viên bi nào). Lấy ngẫu nhiên một viên bi từ hộp thứ ba, xác suất để lấy được viên bi xanh là bao nhiêu (không làm tròn kết quả các phép tính trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng phần trăm)?

Đáp án: 2022

Ta có \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y =  - 1 - t\\z = 4 + t\end{array} \right.\). Vì \(\Delta  \cap d = \left\{ B \right\}\) nên \(B\left( {1 + 2t; - 1 - t;4 + t} \right)\).

Do \(C\) là trung điểm \(AB\) nên ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_C} = \frac{{{x_A} + {x_B}}}{2}\\{y_C} = \frac{{{y_A} + {y_B}}}{2}\\{z_C} = \frac{{{z_A} + {z_B}}}{2}\end{array} \right.\)\( = \left\{ \begin{array}{l}{x_C} = \frac{{1 + 1 + 2t}}{2} = 1 + t\\{y_C} = \frac{{2 - 1 - t}}{2} = \frac{1}{2} - \frac{t}{2}\\{z_C} = \frac{{ - 1 + 4 + t}}{2} = \frac{3}{2} + \frac{t}{2}\end{array} \right.\).

Suy ra \(C\left( {1 + t;\frac{1}{2} - \frac{t}{2};\frac{3}{2} + \frac{t}{2}} \right)\).

Vì \(C\) thuộc mặt phẳng \(\left( P \right)\) nên \(1 + t + 3\left( {\frac{1}{2} - \frac{t}{2}} \right) - 2\left( {\frac{3}{2} + \frac{t}{2}} \right) + 3029 = 0\)\( \Leftrightarrow t = 2019\).

Suy ra \(C\left( {2020; - 1009;1011} \right)\). Vậy \(a + b + c = 2022\).

Đáp số: \(0,73\).

Gọi \(A\left( {a;0;0} \right),B\left( {0;b;0} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AB}  = \left( { - a;b;0} \right)\).

Đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(M\left( {2;1;0} \right)\) và có vécto chỉ phương \({\vec u_\Delta } = \left( {1;2; - 1} \right)\).

Vì hai đường thẳng \(AB\) và \(\Delta \) vuông góc với nhau nên \(\overrightarrow {AB} .{\vec u_\Delta } = 0 \Leftrightarrow  - a + 2b = 0 \Leftrightarrow a = 2b\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {AB}  = \left( { - 2b;b;0} \right)\) hay 1 VTCP của đường thẳng \(AB\) là \({\vec u_{AB}} = \left( { - 2;1;0} \right)\)

Mặt phẳng \(\left( P \right)\) chứa đường thẳng \(\Delta \) và đường thẳng \(AB\) nên \({\vec n_P} = \left[ {{{\vec u}_\Delta };{{\vec u}_{AB}}} \right] = \left( {1;2;5} \right)\)

Phương trình của mặt phẳng \(\left( P \right)\) là \(1.\left( {x - 2} \right) + 2.\left( {y - 1} \right) + 5.\left( {z - 0} \right) = 0 \Leftrightarrow x + 2y + 5z - 4 = 0\)

Vậy \(d\left( {O;\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| { - 4} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {5^2}} }} = \frac{4}{{\sqrt {30} }} = \frac{{2\sqrt {30} }}{{15}} \approx 0,73\).