Một hạt chuyển động dọc theo trục \(Ox.\) Vị trí của hạt (đơn vị: mét) tại thời điểm t (giây) được xác định bởi hàm số: \(x(t) = 20{t^2}{e^{ - 0,5t}}(m),\) với \(t \ge 0\). Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

Đáp án: 6129

Bước 1: Thiết lập hệ tọa độ và phương trình các đường

Chọn hệ trục tọa độ \(Oxy\) có gốc \(O\) là tâm hình vuông. Tọa độ các đỉnh: \(A\left( { - 2;2} \right),D\left( {2;2} \right),C\left( {2; - 2} \right),B\left( { - 2; - 2} \right)\).

Parabol E có đỉnh \(E\left( {0;1} \right)\) đi qua \(C\left( {2; - 2} \right)\) và \(B\left( { - 2; - 2} \right)\): \(y =  - \frac{3}{4}{x^2} + 1\).

Parabol P có đỉnh \(P\left( {0; - 1} \right)\) đi qua \(D\left( {2;2} \right)\) và \(A\left( { - 2;2} \right)\): \(y = \frac{3}{4}{x^2} - 1\).

Đường thẳng đối xứng: \(y = x\).

Xác định các giao điểm:

Giao điểm của Parabol \(E\) và \(y = x\): \( - \frac{3}{4}{x^2} + 1 = x \Leftrightarrow 3{x^2} + 4x - 4 = 0 \Rightarrow x = \frac{2}{3}\).

Giao điểm của Parabol \(E\) và Parabol \(P\): \( - \frac{3}{4}{x^2} + 1 = \frac{3}{4}{x^2} - 1 \Leftrightarrow \frac{3}{2}{x^2} = 2 \Leftrightarrow x = \frac{2}{{\sqrt 3 }}\).

Bước 2: Tính diện tích miền \(H\) (\(1/8\) phần gạch chéo)

Diện tích miền \(H\) được tính theo công thức \(\)

Tích phân thứ nhất \(\left( {{S_{H1}}} \right)\): \({S_{H1}} = \int_{2/3}^{2/\sqrt 3 } {\left[ {x - \left( { - \frac{3}{4}{x^2} + 1} \right)} \right]} dx \approx 0,267...\)\(\)

Tích phân thứ hai \(\left( {{S_{H2}}} \right)\): \({S_{H2}} = \int_{2/\sqrt 3 }^2 {\left[ {x - \left( {\frac{3}{4}{x^2} - 1} \right)} \right]} dx \approx 0,563...\)\(\)

Nên \[{S_H} = {S_{H1}} + {S_{H2}} \approx 0,831\,\,\left( {{{\rm{m}}^2}} \right)\]\(\)

Bước 3: Tính tổng diện tích và chi phí

Diện tích phần sơn màu đỏ: \({S_D} = 8 \times {S_H} \approx 6,646...\left( {{{\rm{m}}^2}} \right)\).

Diện tích phần sơn màu trắng: \({S_T} \approx 16 - {S_D} = 9,35...\left( {{{\rm{m}}^2}} \right)\).

Tổng số tiền bác Tuấn cần:

\(T \approx {S_D} \times 500 + {S_T} \times 300 \approx 6129\).

Làm tròn đến hàng đơn vị, bác Tuấn cần 6129 nghìn đồng.

Đáp án: \(1560\).

Phần \(O\) tiếp xúc với mọi phần khác, nên ta chọn nó đầu tiên.

- Có 6 cách chọn màu cho \(O\).

- Trường hợp 1: \(A\) và \(C\) cùng màu

Chọn màu cho \(A\): có 5 cách.

Chọn màu cho \(C\): có 1 cách (phải giống \(A\)).

Chọn màu cho \(B\): \(B\)tiếp giáp \(O,A,C\). Vì \(A\) và \(C\)cùng màu, nên \(B\)chỉ cần khác màu \(O\)và màu của \(\{ A,C\} \). Vậy \(B\) có \(5 - 1 = 4\) cách.

Chọn màu cho \(D\): Tương tự \(B\), \(D\) tiếp giáp \(O,A,C\). \(D\) có \(5 - 1 = 4\) cách.

Số cách cho TH1: \(5 \times 1 \times 4 \times 4 = 80\) cách.

- Trường hợp 2: \(A\) và \(C\) khác màu

Chọn màu cho \(A\): có 5 cách.

Chọn màu cho \(C\): có 4 cách (khác \(O\) và khác \(A\)).

Chọn màu cho \(B\): \(B\) tiếp giáp \(O,A,C\). Vì \(A,C\) khác màu nhau và cùng khác \(O\), nên \(B\) phải khác 3 màu này. Vậy \(B\) có \(5 - 2 = 3\) cách.

Chọn màu cho \(D\): Tương tự, \(D\) cũng phải khác màu \(O,A,C\). Vậy \(D\) có \(5 - 2 = 3\) cách.

Số cách cho TH2: \(5 \times 4 \times 3 \times 3 = 180\) cách.

- Kết hợp với 6 cách chọn màu cho \(O\), tổng số cách tô màu thỏa mãn yêu cầu là:\(6.\left( {80 + 180} \right) = 1560\)

- Đáp số: Bác Huy có 1560 cách tô màu.