Cho hình lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) có đáy \(ABC\) là tam giác cân tại \(C\). Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\) và \(E\) là điểm thuộc tia \(AG\) sao cho \(AE = 3AG\). Biết \(A'A = A'B = 15\), \(AB = 18\) và\(AC = 3\sqrt {10} \). Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng \(A'G\) và\(B'E\).

Đáp án: 6129

Bước 1: Thiết lập hệ tọa độ và phương trình các đường

Chọn hệ trục tọa độ \(Oxy\) có gốc \(O\) là tâm hình vuông. Tọa độ các đỉnh: \(A\left( { - 2;2} \right),D\left( {2;2} \right),C\left( {2; - 2} \right),B\left( { - 2; - 2} \right)\).

Parabol E có đỉnh \(E\left( {0;1} \right)\) đi qua \(C\left( {2; - 2} \right)\) và \(B\left( { - 2; - 2} \right)\): \(y =  - \frac{3}{4}{x^2} + 1\).

Parabol P có đỉnh \(P\left( {0; - 1} \right)\) đi qua \(D\left( {2;2} \right)\) và \(A\left( { - 2;2} \right)\): \(y = \frac{3}{4}{x^2} - 1\).

Đường thẳng đối xứng: \(y = x\).

Xác định các giao điểm:

Giao điểm của Parabol \(E\) và \(y = x\): \( - \frac{3}{4}{x^2} + 1 = x \Leftrightarrow 3{x^2} + 4x - 4 = 0 \Rightarrow x = \frac{2}{3}\).

Giao điểm của Parabol \(E\) và Parabol \(P\): \( - \frac{3}{4}{x^2} + 1 = \frac{3}{4}{x^2} - 1 \Leftrightarrow \frac{3}{2}{x^2} = 2 \Leftrightarrow x = \frac{2}{{\sqrt 3 }}\).

Bước 2: Tính diện tích miền \(H\) (\(1/8\) phần gạch chéo)

Diện tích miền \(H\) được tính theo công thức \(\)

Tích phân thứ nhất \(\left( {{S_{H1}}} \right)\): \({S_{H1}} = \int_{2/3}^{2/\sqrt 3 } {\left[ {x - \left( { - \frac{3}{4}{x^2} + 1} \right)} \right]} dx \approx 0,267...\)\(\)

Tích phân thứ hai \(\left( {{S_{H2}}} \right)\): \({S_{H2}} = \int_{2/\sqrt 3 }^2 {\left[ {x - \left( {\frac{3}{4}{x^2} - 1} \right)} \right]} dx \approx 0,563...\)\(\)

Nên \[{S_H} = {S_{H1}} + {S_{H2}} \approx 0,831\,\,\left( {{{\rm{m}}^2}} \right)\]\(\)

Bước 3: Tính tổng diện tích và chi phí

Diện tích phần sơn màu đỏ: \({S_D} = 8 \times {S_H} \approx 6,646...\left( {{{\rm{m}}^2}} \right)\).

Diện tích phần sơn màu trắng: \({S_T} \approx 16 - {S_D} = 9,35...\left( {{{\rm{m}}^2}} \right)\).

Tổng số tiền bác Tuấn cần:

\(T \approx {S_D} \times 500 + {S_T} \times 300 \approx 6129\).

Làm tròn đến hàng đơn vị, bác Tuấn cần 6129 nghìn đồng.

Đáp án: \(1560\).

Phần \(O\) tiếp xúc với mọi phần khác, nên ta chọn nó đầu tiên.

- Có 6 cách chọn màu cho \(O\).

- Trường hợp 1: \(A\) và \(C\) cùng màu

Chọn màu cho \(A\): có 5 cách.

Chọn màu cho \(C\): có 1 cách (phải giống \(A\)).

Chọn màu cho \(B\): \(B\)tiếp giáp \(O,A,C\). Vì \(A\) và \(C\)cùng màu, nên \(B\)chỉ cần khác màu \(O\)và màu của \(\{ A,C\} \). Vậy \(B\) có \(5 - 1 = 4\) cách.

Chọn màu cho \(D\): Tương tự \(B\), \(D\) tiếp giáp \(O,A,C\). \(D\) có \(5 - 1 = 4\) cách.

Số cách cho TH1: \(5 \times 1 \times 4 \times 4 = 80\) cách.

- Trường hợp 2: \(A\) và \(C\) khác màu

Chọn màu cho \(A\): có 5 cách.

Chọn màu cho \(C\): có 4 cách (khác \(O\) và khác \(A\)).

Chọn màu cho \(B\): \(B\) tiếp giáp \(O,A,C\). Vì \(A,C\) khác màu nhau và cùng khác \(O\), nên \(B\) phải khác 3 màu này. Vậy \(B\) có \(5 - 2 = 3\) cách.

Chọn màu cho \(D\): Tương tự, \(D\) cũng phải khác màu \(O,A,C\). Vậy \(D\) có \(5 - 2 = 3\) cách.

Số cách cho TH2: \(5 \times 4 \times 3 \times 3 = 180\) cách.

- Kết hợp với 6 cách chọn màu cho \(O\), tổng số cách tô màu thỏa mãn yêu cầu là:\(6.\left( {80 + 180} \right) = 1560\)

- Đáp số: Bác Huy có 1560 cách tô màu.