Cho hình lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) có đáy \(ABC\) là tam giác cân tại \(C\). Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\) và \(E\) là điểm thuộc tia \(AG\) sao cho \(AE = 3AG\). Biết \(A'A = A'B = 15\), \(AB = 18\) và\(AC = 3\sqrt {10} \). Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng \(A'G\) và\(B'E\).

Đáp án: 6129

Bước 1: Thiết lập hệ tọa độ và phương trình các đường

Chọn hệ trục tọa độ \(Oxy\) có gốc \(O\) là tâm hình vuông. Tọa độ các đỉnh: \(A\left( { - 2;2} \right),D\left( {2;2} \right),C\left( {2; - 2} \right),B\left( { - 2; - 2} \right)\).

Parabol E có đỉnh \(E\left( {0;1} \right)\) đi qua \(C\left( {2; - 2} \right)\) và \(B\left( { - 2; - 2} \right)\): \(y =  - \frac{3}{4}{x^2} + 1\).

Parabol P có đỉnh \(P\left( {0; - 1} \right)\) đi qua \(D\left( {2;2} \right)\) và \(A\left( { - 2;2} \right)\): \(y = \frac{3}{4}{x^2} - 1\).

Đường thẳng đối xứng: \(y = x\).

Xác định các giao điểm:

Giao điểm của Parabol \(E\) và \(y = x\): \( - \frac{3}{4}{x^2} + 1 = x \Leftrightarrow 3{x^2} + 4x - 4 = 0 \Rightarrow x = \frac{2}{3}\).

Giao điểm của Parabol \(E\) và Parabol \(P\): \( - \frac{3}{4}{x^2} + 1 = \frac{3}{4}{x^2} - 1 \Leftrightarrow \frac{3}{2}{x^2} = 2 \Leftrightarrow x = \frac{2}{{\sqrt 3 }}\).

Bước 2: Tính diện tích miền \(H\) (\(1/8\) phần gạch chéo)

Diện tích miền \(H\) được tính theo công thức \(\)

Tích phân thứ nhất \(\left( {{S_{H1}}} \right)\): \({S_{H1}} = \int_{2/3}^{2/\sqrt 3 } {\left[ {x - \left( { - \frac{3}{4}{x^2} + 1} \right)} \right]} dx \approx 0,267...\)\(\)

Tích phân thứ hai \(\left( {{S_{H2}}} \right)\): \({S_{H2}} = \int_{2/\sqrt 3 }^2 {\left[ {x - \left( {\frac{3}{4}{x^2} - 1} \right)} \right]} dx \approx 0,563...\)\(\)

Nên \[{S_H} = {S_{H1}} + {S_{H2}} \approx 0,831\,\,\left( {{{\rm{m}}^2}} \right)\]\(\)

Bước 3: Tính tổng diện tích và chi phí

Diện tích phần sơn màu đỏ: \({S_D} = 8 \times {S_H} \approx 6,646...\left( {{{\rm{m}}^2}} \right)\).

Diện tích phần sơn màu trắng: \({S_T} \approx 16 - {S_D} = 9,35...\left( {{{\rm{m}}^2}} \right)\).

Tổng số tiền bác Tuấn cần:

\(T \approx {S_D} \times 500 + {S_T} \times 300 \approx 6129\).

Làm tròn đến hàng đơn vị, bác Tuấn cần 6129 nghìn đồng.

a) Ta có:  Tập xác định của hàm số là \(D = R\backslash \{  - 1\} \).

\(y = \frac{{{x^2} + x - 6}}{{x + 1}} = x - \frac{6}{{x + 1}}\)

nên \(\mathop {lim}\limits_{x \to  + \infty } \left( {y - x} \right) = \mathop {lim}\limits_{x \to  + \infty } \left( { - \frac{6}{{x + 1}}} \right) = 0\) và \(\mathop {lim}\limits_{x \to  - \infty } \left( {y - x} \right) = \mathop {lim}\limits_{x \to  - \infty } \left( { - \frac{6}{{x + 1}}} \right) = 0\). Suy ra tiệm cận xiên của đồ thị hàm số là đường thẳng \(y = x\).

\(\mathop {lim}\limits_{x \to  - {1^ + }} y = \mathop {lim}\limits_{x \to  - {1^ + }} \frac{{{x^2} + x - 6}}{{x + 1}} =  - \infty \) nên tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là đường thẳng \(x =  - 1\).

Tâm đối xứng của đồ thị \(\left( C \right)\) là giao điểm hai đường tiệm cận, nên \(I\left( { - 1; - 1} \right)\).

Vậy a) Đúng.

b) Ta có: \(y'\left( x \right) = \frac{{{x^2} + 2x + 7}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\)

Gọi  \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right),\,\,\left( {{x_0} \ne  - 1} \right)\) là tiếp điểm.

Vì tiếp tuyến của đồ thị \(\left( C \right)\) tại \(M\) song song với đường thẳng \(d:\,y = 7x + 18\) nên

\(y'\left( {{x_0}} \right) = 7 \Leftrightarrow \frac{{{x_0}^2 + 2{x_0} + 7}}{{{{\left( {{x_0} + 1} \right)}^2}}} = 7 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} = 0\\{x_0} =  - 2\end{array} \right.\), suy ra \(\left[ \begin{array}{l}M\left( {0; - 6} \right)\\M\left( { - 2;4} \right)\end{array} \right.\)

TH1: \(M\left( {0; - 6} \right)\), ta có phương trình tiếp tuyến là \({d_1}:y = 7x - 6\). (Thỏa)

TH2: \(M\left( { - 2;4} \right)\), ta có phương trình tiếp tuyến là \({d_2}:y = 7x + 18\) (Loại vì trùng với đường thẳng \(d\))

Vậy b) Sai.

c) Gọi \(A\left( {{x_1};{y_1}} \right);\,\,B\left( {{x_2};{y_2}} \right)\) là hai điểm thuộc hai nhánh khác nhau của đồ thị \(\left( C \right)\), \({x_1} <  - 1 < \,\,{x_2}\)

Vì \(AB\) song song với trục hoành nên \({y_1} = {y_2} = {y_0}\) và \({x_1};\,\,{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình \({y_0} = \frac{{{x^2} + x - 6}}{{x + 1}} \Leftrightarrow {x^2} + \left( {1 - {y_0}} \right)x - 6 - {y_0} = 0\,\,\left( 1 \right)\,\,\)(với \(x \ne  - 1\)).

\(\begin{array}{l}{x_1} <  - 1 < \,\,{x_2}\\ \Leftrightarrow {x_1} + 1 < 0 < {x_2} + 1 \Leftrightarrow \left( {{x_1} + 1} \right)\left( {{x_2} + 1} \right) < 0\\ \Leftrightarrow {x_1}.{x_2} + \left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 1 < 0 \Leftrightarrow  - {y_0} - 6 + \left( {{y_0} - 1} \right) + 1 < 0 \Leftrightarrow  - 6 < 0\end{array}\)

Hiển nhiên đúng nên phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt.

\(AB = \left| {{x_1} - {x_2}} \right| = \sqrt {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 4{x_1}{x_2}}  = \sqrt {{{\left( {{y_0} - 1} \right)}^2} - 4\left( { - 6 - {y_0}} \right)}  = \sqrt {{{\left( {{y_0} + 1} \right)}^2} + 24}  \ge 2\sqrt 6 \)

Dấu “bằng” xảy ra khi chỉ khi \({y_0} =  - 1\)và giá trị nhỏ nhất của đoạn thẳng \(AB\) bằng \(2\sqrt 6 \).

Vậy c) Sai.

d) Ta có \(y = \frac{{{x^2} + x - 6}}{{x + 1}} - x = \frac{{ - 6}}{{x + 1}}\) .

Thể tích cần tìm là \(V = \pi {\int\limits_0^m {\left( {\frac{{ - 6}}{{x + 1}}} \right)} ^2}dx = 36\pi .\frac{m}{{m + 1}}\)

\(\mathop {lim}\limits_{m \to  + \infty } V = \mathop {lim}\limits_{m \to  + \infty } \left( {36\pi .\frac{m}{{m + 1}}} \right) = 36\pi \).

Vậy d) Đúng.