Một doanh nghiệp dự định sản xuất không quá \(500\)sản phẩm. Nếu doanh nghiệp sản xuất \(x\)sản phẩm\(\left( {x \in Z,1 \le x \le 100} \right)\) thì doanh thu nhận được khi bán hết sản phẩm đó là \(R\left( x \right) = {x^3} - 396{x^2} + 80000\ln x + 38800x + 500\) (nghìn đồng).
Trong khi chi phí sản xuất bình quân cho một sản phẩm là \(G\left( x \right) = x + 400 + \frac{{2500}}{x}\)(nghìn đồng). Giả sử sản phẩm làm ra luôn bán hết, lợi nhuận lớn nhất khi doanh nghiệp sản xuất bao nhiêu xản phẩm?

Chọn gốc tọa độ tại trung điểm \(M\) của\(AB\) ta có:

\[A( - 9,{\rm{ }}0,{\rm{ }}0)\];\[B(9,0,0)\]; \[C\left( {0,{\rm{ }}3,{\rm{ }}0} \right);G\left( {0,{\rm{ }}1,{\rm{ }}0} \right)\].

Ta có \(AE = 3AG\) suy ra \(E = A + \overrightarrow {AE}  = ( - 9 + 27,0 + 3,0) = (18,3,0)\).

Vì \(A'A = A'B = 15\), hình chiếu của \(A'\) xuống đáy nằm trên trục \(Oy\). Gọi \(A'(0,y,z)\).

\(A'{A^2} = {(0 + 9)^2} + {y^2} + {z^2} = {15^2} = 225 \Rightarrow {y^2} + {z^2} = 144\)

Chọn \(A'(0,0,12)\) suy ra \(\overrightarrow {AA'}  = (0 - ( - 9),0 - 0,12 - 0) = (9,0,12)\)

Tọa độ \(B' = B + \overrightarrow {AA'}  = (9 + 9,0 + 0,0 + 12) = (18,0,12)\).

·         Đường thẳng \(A'G\): Đi qua \(A'(0,0,12)\), VTCP \(\vec u = \overrightarrow {A'G}  = (0,1, - 12)\).

·         Đường thẳng \(B'E\): Đi qua \(B'(18,0,12)\), VTCP \(\vec v = \overrightarrow {B'E}  = 3(0,1, - 4)\).

Tính khoảng cách:

1.      Tích có hướng:\([\vec u,\vec v] = (8,0,0)\).

2.      Vectơ nối hai đường thẳng: \(\overrightarrow {A'B'}  = (18,0,0)\).

3.      Áp dụng công thức:

\(d(A'G,B'E) = \frac{{|[\vec u,\vec v] \cdot \overrightarrow {A'B'} |}}{{|[\vec u,\vec v]|}} = \frac{{|8 \cdot 18 + 0 \cdot 0 + 0 \cdot 0|}}{{\sqrt {{8^2} + {0^2} + {0^2}} }} = \frac{{8 \cdot 18}}{8} = 18\).

Đáp án: \(18\).

Đáp án: 6129

Bước 1: Thiết lập hệ tọa độ và phương trình các đường

Chọn hệ trục tọa độ \(Oxy\) có gốc \(O\) là tâm hình vuông. Tọa độ các đỉnh: \(A\left( { - 2;2} \right),D\left( {2;2} \right),C\left( {2; - 2} \right),B\left( { - 2; - 2} \right)\).

Parabol E có đỉnh \(E\left( {0;1} \right)\) đi qua \(C\left( {2; - 2} \right)\) và \(B\left( { - 2; - 2} \right)\): \(y =  - \frac{3}{4}{x^2} + 1\).

Parabol P có đỉnh \(P\left( {0; - 1} \right)\) đi qua \(D\left( {2;2} \right)\) và \(A\left( { - 2;2} \right)\): \(y = \frac{3}{4}{x^2} - 1\).

Đường thẳng đối xứng: \(y = x\).

Xác định các giao điểm:

Giao điểm của Parabol \(E\) và \(y = x\): \( - \frac{3}{4}{x^2} + 1 = x \Leftrightarrow 3{x^2} + 4x - 4 = 0 \Rightarrow x = \frac{2}{3}\).

Giao điểm của Parabol \(E\) và Parabol \(P\): \( - \frac{3}{4}{x^2} + 1 = \frac{3}{4}{x^2} - 1 \Leftrightarrow \frac{3}{2}{x^2} = 2 \Leftrightarrow x = \frac{2}{{\sqrt 3 }}\).

Bước 2: Tính diện tích miền \(H\) (\(1/8\) phần gạch chéo)

Diện tích miền \(H\) được tính theo công thức \(\)

Tích phân thứ nhất \(\left( {{S_{H1}}} \right)\): \({S_{H1}} = \int_{2/3}^{2/\sqrt 3 } {\left[ {x - \left( { - \frac{3}{4}{x^2} + 1} \right)} \right]} dx \approx 0,267...\)\(\)

Tích phân thứ hai \(\left( {{S_{H2}}} \right)\): \({S_{H2}} = \int_{2/\sqrt 3 }^2 {\left[ {x - \left( {\frac{3}{4}{x^2} - 1} \right)} \right]} dx \approx 0,563...\)\(\)

Nên \[{S_H} = {S_{H1}} + {S_{H2}} \approx 0,831\,\,\left( {{{\rm{m}}^2}} \right)\]\(\)

Bước 3: Tính tổng diện tích và chi phí

Diện tích phần sơn màu đỏ: \({S_D} = 8 \times {S_H} \approx 6,646...\left( {{{\rm{m}}^2}} \right)\).

Diện tích phần sơn màu trắng: \({S_T} \approx 16 - {S_D} = 9,35...\left( {{{\rm{m}}^2}} \right)\).

Tổng số tiền bác Tuấn cần:

\(T \approx {S_D} \times 500 + {S_T} \times 300 \approx 6129\).

Làm tròn đến hàng đơn vị, bác Tuấn cần 6129 nghìn đồng.