Cho hàm số \(y = \frac{{{x^2} + x - 6}}{{x + 1}}\) có đồ thị là đường cong \(\left( C \right)\). Giả sử \(A,\,B\) là hai điểm thuộc hai nhánh của đồ thị \(\left( C \right)\) sao cho \(AB\) song song với trục hoành. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau.

a) Ta có:  Tập xác định của hàm số là \(D = R\backslash \{  - 1\} \).

\(y = \frac{{{x^2} + x - 6}}{{x + 1}} = x - \frac{6}{{x + 1}}\)

nên \(\mathop {lim}\limits_{x \to  + \infty } \left( {y - x} \right) = \mathop {lim}\limits_{x \to  + \infty } \left( { - \frac{6}{{x + 1}}} \right) = 0\) và \(\mathop {lim}\limits_{x \to  - \infty } \left( {y - x} \right) = \mathop {lim}\limits_{x \to  - \infty } \left( { - \frac{6}{{x + 1}}} \right) = 0\). Suy ra tiệm cận xiên của đồ thị hàm số là đường thẳng \(y = x\).

\(\mathop {lim}\limits_{x \to  - {1^ + }} y = \mathop {lim}\limits_{x \to  - {1^ + }} \frac{{{x^2} + x - 6}}{{x + 1}} =  - \infty \) nên tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là đường thẳng \(x =  - 1\).

Tâm đối xứng của đồ thị \(\left( C \right)\) là giao điểm hai đường tiệm cận, nên \(I\left( { - 1; - 1} \right)\).

Vậy a) Đúng.

b) Ta có: \(y'\left( x \right) = \frac{{{x^2} + 2x + 7}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\)

Gọi  \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right),\,\,\left( {{x_0} \ne  - 1} \right)\) là tiếp điểm.

Vì tiếp tuyến của đồ thị \(\left( C \right)\) tại \(M\) song song với đường thẳng \(d:\,y = 7x + 18\) nên

\(y'\left( {{x_0}} \right) = 7 \Leftrightarrow \frac{{{x_0}^2 + 2{x_0} + 7}}{{{{\left( {{x_0} + 1} \right)}^2}}} = 7 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} = 0\\{x_0} =  - 2\end{array} \right.\), suy ra \(\left[ \begin{array}{l}M\left( {0; - 6} \right)\\M\left( { - 2;4} \right)\end{array} \right.\)

TH1: \(M\left( {0; - 6} \right)\), ta có phương trình tiếp tuyến là \({d_1}:y = 7x - 6\). (Thỏa)

TH2: \(M\left( { - 2;4} \right)\), ta có phương trình tiếp tuyến là \({d_2}:y = 7x + 18\) (Loại vì trùng với đường thẳng \(d\))

Vậy b) Sai.

c) Gọi \(A\left( {{x_1};{y_1}} \right);\,\,B\left( {{x_2};{y_2}} \right)\) là hai điểm thuộc hai nhánh khác nhau của đồ thị \(\left( C \right)\), \({x_1} <  - 1 < \,\,{x_2}\)

Vì \(AB\) song song với trục hoành nên \({y_1} = {y_2} = {y_0}\) và \({x_1};\,\,{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình \({y_0} = \frac{{{x^2} + x - 6}}{{x + 1}} \Leftrightarrow {x^2} + \left( {1 - {y_0}} \right)x - 6 - {y_0} = 0\,\,\left( 1 \right)\,\,\)(với \(x \ne  - 1\)).

\(\begin{array}{l}{x_1} <  - 1 < \,\,{x_2}\\ \Leftrightarrow {x_1} + 1 < 0 < {x_2} + 1 \Leftrightarrow \left( {{x_1} + 1} \right)\left( {{x_2} + 1} \right) < 0\\ \Leftrightarrow {x_1}.{x_2} + \left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 1 < 0 \Leftrightarrow  - {y_0} - 6 + \left( {{y_0} - 1} \right) + 1 < 0 \Leftrightarrow  - 6 < 0\end{array}\)

Hiển nhiên đúng nên phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt.

\(AB = \left| {{x_1} - {x_2}} \right| = \sqrt {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 4{x_1}{x_2}}  = \sqrt {{{\left( {{y_0} - 1} \right)}^2} - 4\left( { - 6 - {y_0}} \right)}  = \sqrt {{{\left( {{y_0} + 1} \right)}^2} + 24}  \ge 2\sqrt 6 \)

Dấu “bằng” xảy ra khi chỉ khi \({y_0} =  - 1\)và giá trị nhỏ nhất của đoạn thẳng \(AB\) bằng \(2\sqrt 6 \).

Vậy c) Sai.

d) Ta có \(y = \frac{{{x^2} + x - 6}}{{x + 1}} - x = \frac{{ - 6}}{{x + 1}}\) .

Thể tích cần tìm là \(V = \pi {\int\limits_0^m {\left( {\frac{{ - 6}}{{x + 1}}} \right)} ^2}dx = 36\pi .\frac{m}{{m + 1}}\)

\(\mathop {lim}\limits_{m \to  + \infty } V = \mathop {lim}\limits_{m \to  + \infty } \left( {36\pi .\frac{m}{{m + 1}}} \right) = 36\pi \).

Vậy d) Đúng.