Trong một cuộc gặp mặt dặn dò trước khi lên đường tham gia kì thi học sinh giỏi, có \(10\) bạn trong đội tuyển gồm 3 bạn đến từ lớp 12A, 2 bạn đến từ lớp 12B, 5 bạn còn lại đến từ 5 lớp khác (mỗi lớp 1 bạn). Thầy giáo xếp ngẫu nhiên các bạn kể trên vào một bàn dài có 10 ghế mà mỗi bên có 5 ghế đối diện nhau. Tính xác suất để không có học sinh nào cùng lớp ngồi đối diện nhau. (Kết quả làm tròn đến hàng phần chục).

Đáp án: \(66,9\)

Chọn hệ trục tọa độ \(Oxy\) sao cho \(O \equiv A\), điểm \(B\) thuộc tia \(Ox\), điểm \(D\) thuộc tia \(Oy\).

Ta có: \(I\left( {2;0} \right)\), bán kính \(R = \sqrt {A{M^2} + A{I^2}}  = \frac{5}{2}\).

Phương trình của đường tròn chứa cung \(MN\): \({\left( {x - 2} \right)^2} + {y^2} = \frac{{25}}{4}\)\( \Rightarrow {y^2} = \frac{{25}}{4} - {\left( {x - 2} \right)^2}\).

Phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại điểm \(N\left( {4;1;5} \right)\) nhận \(\overrightarrow {IN} \) là VTPT: \(y =  - \frac{4}{3}x + \frac{{41}}{6}\).

Giả sử phương trình của cung parabol \(NP\): \(y = a{x^2} + bx + c\).

Parabol đi qua hai điểm \(N\left( {4;1;5} \right),P\left( {5;1,5} \right)\) và \(y'\left( 4 \right) =  - \frac{4}{3}\)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}16a + 4b + c = 1,5\\25a + 5b + c = 1,5\\8a + b =  - \frac{4}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{4}{3}\\b =  - 12\\c = \frac{{169}}{6}\end{array} \right.\).

Thể tích của bình là: \(V = \pi \int\limits_0^4 {\left[ {\frac{{25}}{4} - {{\left( {x - 2} \right)}^2}} \right]{\rm{d}}x}  + \pi \int\limits_4^5 {{{\left( {\frac{4}{3}{x^2} - 12x + \frac{{169}}{6}} \right)}^2}{\rm{d}}x}  \approx 66,9\) (lít).

Đáp án: 1.

Đường thẳng \(d\) có vectơ chỉ phương \({\vec u_d} = (1;2;2)\) và đi qua điểm \(M(2;1; - 1)\).

Đường thẳng \(\Delta \) có vectơ chỉ phương \({\vec u_\Delta } = (1;1;0)\).

Mặt phẳng \((P)\) chứa \(d\) nên vectơ pháp tuyến \({\vec n_P} \bot {\vec u_d}\).

Gọi \(\alpha \) là góc giữa đường thẳng \(\Delta \) và mặt phẳng \((P)\). Ta có công thức:

\(\sin \alpha  = \frac{{|{{\vec n}_P} \cdot {{\vec u}_\Delta }|}}{{|{{\vec n}_P}| \cdot |{{\vec u}_\Delta }|}} = \cos ({\vec n_P},{\vec u_\Delta })\)

Để góc \(\alpha \) lớn nhất thì góc giữa \({\vec n_P}\) và \({\vec u_\Delta }\) phải nhỏ nhất. Điều này xảy ra khi \({\vec n_P}\) là hình chiếu của \({\vec u_\Delta }\) lên mặt phẳng vuông góc với đường thẳng \(d\).

Khi đó, vectơ pháp tuyến \({\vec n_P}\) được xác định bởi: \({\vec n_P} = \left[ {{{\vec u}_d},[{{\vec u}_\Delta },{{\vec u}_d}]} \right]\)

Tính tích có hướng: \([{\vec u_\Delta },{\vec u_d}] = (1 \cdot 2 - 0 \cdot 2;0 \cdot 1 - 1 \cdot 2;1 \cdot 2 - 1 \cdot 1) = (2; - 2;1)\).

Tính VTPT: \({\vec n_P} = \left[ {{{\vec u}_d},[{{\vec u}_\Delta },{{\vec u}_d}]} \right] = (6;3; - 6)\).

Chọn VTPT tối giản: \({\vec n_P} = (2;1; - 2)\).

Mặt phẳng \((P)\) đi qua \(M(2;1; - 1)\) và có VTPT \({\vec n_P} = (2;1; - 2)\):

\(2(x - 2) + 1(y - 1) - 2(z + 1) = 0\)\( \Leftrightarrow 2x + y - 2z - 7 = 0\)

Đối chiếu với phương trình \(ax + by + cz - 7 = 0\), ta được: \(a = 2\),\(b = 1\),\(c =  - 2\)

Giá trị của biểu thức \(T = 2 + 1 + ( - 2) = 1\).